Интересные задачи по математике для 5–6 класса

Три делителя

Число 4 имеет ровно три делителя. Какие? Найдите еще три числа, имеющих ровно три делителя. Как можно записать или описать словами общий вид таких чисел?

4 делится на 1, 2, 4.

9 делится на 1, 3, 9.

25 делится на 1, 5, 25.

49 делится на 1, 7, 49. И так далее.

Это квадраты простых чисел. Они делятся на себя, на это простое число и на 1 — ровно три делителя.

Пять делителей

Придумайте два числа, имеющие ровно пять делителей. Сколько таких чисел, меньших 1000? Как можно записать (или описать словами) общий вид таких чисел?

16 делится на 1, 2, 4, 8, 16. Возьмем любое простое число p. Тогда p⁴ делится на 1, p, p², p³, p⁴. Будет ровно 5 делителей.

Сколько таких чисел меньших 1000?

16, 81, 625

Семь в четвертой степени уже больше тысячи. Меньше тысячи — три таких числа.

Контрольный вопрос на понимание: число имеет ровно пять делителей. Может ли оно делиться на 25? На 27? На 29? На 33?

625 делится на 25. 81 делится на 27. 29 — простое число, его четвертая степень имеет ровно 5 делителей, и делится на 29.

А на 33? Это тяжелый вопрос. 33=3·11 У числа 33 = 3·11 делителей четыре: 1, 3, 11, 33. Само число 33 нам не годится, попробуем его на что-нибудь домножить. Домножим на 3 или на 11, чтобы не очень много новых делителей получилось.

99 делится на 1, 3, 9, 11, 33, 99. Увы, стало 6 делителей. Можно доказать аккуратно, но если вы беседуете и 5–6-классниками, то достаточно и такого объяснения: мы видим, что если мы на что-нибудь домножим, то число делителей вырастет больше, чем на один. Значит, число с пятью делителями на 33 делиться не может.

Четыре делителя

Найдите все натуральные числа меньшие 20, которые имеют ровно 4 делителя. Как можно записать (или описать словами) общий вид таких чисел?

Я не буду приводить все числа, меньшие 20, у которых ровно 4 делителя. Найдите их сами, их пять. Число 33 из прошлого раздела нам подсказывает, как устроены такие числа. Давайте все же начнем с примера:

6 = 2·3 делится на 1, 2, 3, 6. Общий вид p·q, где p и q — простые числа. p·q делится на 1, p, q, p·q.

А еще есть число 8, оно другого вида, но тоже нам подходит. 8 делится на 1, 2, 4, 8. Это число вида p³, где p — простое. p³ делится на 1, p, p², p³.

Понятно, что других видов чисел нет. p² дает 3 делителя, большие степени — больше делителей. А если мы еще на что-то домножим p², p³ или p·q, уже будет больше делителей.

Разумеется, когда мы решаем эту задачу со школьниками, мы идем медленнее, составляем таблицы, у каких чисел сколько делителей, ищем закономерности

Сколько существует чисел кратных 5 и меньших 200, имеющих ровно 4 делителя?

Всю подготовительную работу мы провели. Это либо число 5³, либо 5·p. Перебираем все простые числа от 2 до 37 (потому что 5·40=200), кроме самого числа 5: 2, 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. При умножении на 5 эти простые числа дадут нам удовлетворяющие условию.

Выводы

Последняя задача — уже серьезная задача с олимпиады — вытекает из того, что обычно делают на уроках в 5–6 классе. Только на уроках обычно идут дальше: НОД, НОК и переходим к дробям. Можно не торопиться и покопаться в делителях.

Источник: Д. Э. Шноль «Олимпиадные задачи на уроке в 5-6 классе», видеозапись семинара для учителей проекта «Математическая вертикаль»

Читайте также:

• мой телеграм-канал о том, как я учу математике своих сыновей
• мой телеграм-канал о геометрии
• мой Дзен

Иллюстрация обложки: Полина Хамитова