Три делителя
Число 4 имеет ровно три делителя. Какие? Найдите еще три числа, имеющих ровно три делителя. Как можно записать или описать словами общий вид таких чисел?
4 делится на 1, 2, 4.
9 делится на 1, 3, 9.
25 делится на 1, 5, 25.
49 делится на 1, 7, 49. И так далее.
Это квадраты простых чисел. Они делятся на себя, на это простое число и на 1 — ровно три делителя.
Пять делителей
Придумайте два числа, имеющие ровно пять делителей. Сколько таких чисел, меньших 1000? Как можно записать (или описать словами) общий вид таких чисел?
16 делится на 1, 2, 4, 8, 16. Возьмем любое простое число p. Тогда p⁴ делится на 1, p, p², p³, p⁴. Будет ровно 5 делителей.
Сколько таких чисел меньших 1000?
16, 81, 625
Семь в четвертой степени уже больше тысячи. Меньше тысячи — три таких числа.
Контрольный вопрос на понимание: число имеет ровно пять делителей. Может ли оно делиться на 25? На 27? На 29? На 33?
625 делится на 25. 81 делится на 27. 29 — простое число, его четвертая степень имеет ровно 5 делителей, и делится на 29.
А на 33? Это тяжелый вопрос. 33=3·11 У числа 33 = 3·11 делителей четыре: 1, 3, 11, 33. Само число 33 нам не годится, попробуем его на что-нибудь домножить. Домножим на 3 или на 11, чтобы не очень много новых делителей получилось.
99 делится на 1, 3, 9, 11, 33, 99. Увы, стало 6 делителей. Можно доказать аккуратно, но если вы беседуете и 5–6-классниками, то достаточно и такого объяснения: мы видим, что если мы на что-нибудь домножим, то число делителей вырастет больше, чем на один. Значит, число с пятью делителями на 33 делиться не может.
Четыре делителя
Найдите все натуральные числа меньшие 20, которые имеют ровно 4 делителя. Как можно записать (или описать словами) общий вид таких чисел?
Я не буду приводить все числа, меньшие 20, у которых ровно 4 делителя. Найдите их сами, их пять. Число 33 из прошлого раздела нам подсказывает, как устроены такие числа. Давайте все же начнем с примера:
6 = 2·3 делится на 1, 2, 3, 6. Общий вид p·q, где p и q — простые числа. p·q делится на 1, p, q, p·q.
А еще есть число 8, оно другого вида, но тоже нам подходит. 8 делится на 1, 2, 4, 8. Это число вида p³, где p — простое. p³ делится на 1, p, p², p³.
Понятно, что других видов чисел нет. p² дает 3 делителя, большие степени — больше делителей. А если мы еще на что-то домножим p², p³ или p·q, уже будет больше делителей.
Разумеется, когда мы решаем эту задачу со школьниками, мы идем медленнее, составляем таблицы, у каких чисел сколько делителей, ищем закономерности
Сколько существует чисел кратных 5 и меньших 200, имеющих ровно 4 делителя?
Всю подготовительную работу мы провели. Это либо число 5³, либо 5·p. Перебираем все простые числа от 2 до 37 (потому что 5·40=200), кроме самого числа 5: 2, 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. При умножении на 5 эти простые числа дадут нам удовлетворяющие условию.
Выводы
Последняя задача — уже серьезная задача с олимпиады — вытекает из того, что обычно делают на уроках в 5–6 классе. Только на уроках обычно идут дальше: НОД, НОК и переходим к дробям. Можно не торопиться и покопаться в делителях.
Читайте также:
- мой телеграм-канал о том, как я учу математике своих сыновей
- мой телеграм-канал о геометрии
- мой Дзен
Иллюстрация обложки: Полина Хамитова
Популярные комментарии
Евгения СамотохинаТо что отрицательные оценки нужны — я согласна, но здесь должен быть ряд факторов: 1) как по мне текущая система оценки (пятибалльная, а по факту четырехбальная) — не то чтобы объективная. Особенно чувствуется на объемных заданиях в старших классах, когда в тексте на 2 страницы допустил 2-3 ошибки и пооучаешь тройку. Как по мне система должна иметь разбивку хотя бы в 10 баллов. 2) Часто каждый учитель сам определяет как оценивать ученика. Если с точными науками и каким-нибудь диктантом ещё более-менее понятно, то с более творческими заданиями, пересказами вообще непонятно — у одного учителя ты получаешь 5 у другого за пересказ того же качества — 3.
«Двойка должна жить». Учитель — о том, почему плохие оценки нужны детям
АнастасияДа уж… Уважительное общение не включено в общеобразовательные стандарты и экзаменационные вопросы. Можно иметь аттестат и даже не один диплом, но при этом оставаться полнейшим хамом. Системный кризис.
«Короче, училка, варежку свою закрой». Топ-20 цитат из переписок родителей с учителями, от которых волосы встают дыбом
Виктория ИльинаА может, пора честно посмотреть на проблему не только глазами учителя? Учитель жалуется: слишком много часов, слишком много отчётности, слишком много требований сверху. И с этим трудно спорить. Но есть один неудобный вопрос: а не является ли сама школа частью проблемы, которую она годами создаёт? Попробуйте хотя бы на минуту посмотреть на ситуацию глазами ученика. Этот ребёнок, которого сегодня заставляют заучивать километры информации «для галочки», завтра станет взрослым человеком. Возможно, чиновником, руководителем, тем самым человеком, который будет писать новые стандарты, программы и инструкции для школ. Не удивительно ли, что система воспроизводит сама себя? Главная ошибка многих педагогов — не в любви к знаниям. Знания нужны. Ошибка в другом: в убеждении, что ребёнку обязательно нужно загрузить весь огромный школьный багаж, не задумываясь, что из этого действительно пригодится именно ему. И когда обществу годами пытаются доказать ценность каждого килограмма ненужной информации, неудивительно, что эта работа перестаёт восприниматься как источник реальной пользы. Может быть, выход проще? Не превращать каждый предмет в борьбу за выживание. Не ломать детей и не выгорать самим. Если ребёнку ваш предмет объективно мешает сосредоточиться на тех знаниях, которые нужны ему для будущего, — поставьте законную тройку и дайте ему возможность развиваться дальше. Иногда настоящая педагогика — это не заставить выучить всё. А понять, что именно действительно стоит учить.
«Мы согласились со своим бесправием». Учительница – о том, почему ее коллеги терпят унижения
