Три делителя
Число 4 имеет ровно три делителя. Какие? Найдите еще три числа, имеющих ровно три делителя. Как можно записать или описать словами общий вид таких чисел?
4 делится на 1, 2, 4.
9 делится на 1, 3, 9.
25 делится на 1, 5, 25.
49 делится на 1, 7, 49. И так далее.
Это квадраты простых чисел. Они делятся на себя, на это простое число и на 1 — ровно три делителя.
Пять делителей
Придумайте два числа, имеющие ровно пять делителей. Сколько таких чисел, меньших 1000? Как можно записать (или описать словами) общий вид таких чисел?
16 делится на 1, 2, 4, 8, 16. Возьмем любое простое число p. Тогда p⁴ делится на 1, p, p², p³, p⁴. Будет ровно 5 делителей.
Сколько таких чисел меньших 1000?
16, 81, 625
Семь в четвертой степени уже больше тысячи. Меньше тысячи — три таких числа.
Контрольный вопрос на понимание: число имеет ровно пять делителей. Может ли оно делиться на 25? На 27? На 29? На 33?
625 делится на 25. 81 делится на 27. 29 — простое число, его четвертая степень имеет ровно 5 делителей, и делится на 29.
А на 33? Это тяжелый вопрос. 33=3·11 У числа 33 = 3·11 делителей четыре: 1, 3, 11, 33. Само число 33 нам не годится, попробуем его на что-нибудь домножить. Домножим на 3 или на 11, чтобы не очень много новых делителей получилось.
99 делится на 1, 3, 9, 11, 33, 99. Увы, стало 6 делителей. Можно доказать аккуратно, но если вы беседуете и 5–6-классниками, то достаточно и такого объяснения: мы видим, что если мы на что-нибудь домножим, то число делителей вырастет больше, чем на один. Значит, число с пятью делителями на 33 делиться не может.
Четыре делителя
Найдите все натуральные числа меньшие 20, которые имеют ровно 4 делителя. Как можно записать (или описать словами) общий вид таких чисел?
Я не буду приводить все числа, меньшие 20, у которых ровно 4 делителя. Найдите их сами, их пять. Число 33 из прошлого раздела нам подсказывает, как устроены такие числа. Давайте все же начнем с примера:
6 = 2·3 делится на 1, 2, 3, 6. Общий вид p·q, где p и q — простые числа. p·q делится на 1, p, q, p·q.
А еще есть число 8, оно другого вида, но тоже нам подходит. 8 делится на 1, 2, 4, 8. Это число вида p³, где p — простое. p³ делится на 1, p, p², p³.
Понятно, что других видов чисел нет. p² дает 3 делителя, большие степени — больше делителей. А если мы еще на что-то домножим p², p³ или p·q, уже будет больше делителей.
Разумеется, когда мы решаем эту задачу со школьниками, мы идем медленнее, составляем таблицы, у каких чисел сколько делителей, ищем закономерности
Сколько существует чисел кратных 5 и меньших 200, имеющих ровно 4 делителя?
Всю подготовительную работу мы провели. Это либо число 5³, либо 5·p. Перебираем все простые числа от 2 до 37 (потому что 5·40=200), кроме самого числа 5: 2, 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. При умножении на 5 эти простые числа дадут нам удовлетворяющие условию.
Выводы
Последняя задача — уже серьезная задача с олимпиады — вытекает из того, что обычно делают на уроках в 5–6 классе. Только на уроках обычно идут дальше: НОД, НОК и переходим к дробям. Можно не торопиться и покопаться в делителях.
Читайте также:
- мой телеграм-канал о том, как я учу математике своих сыновей
- мой телеграм-канал о геометрии
- мой Дзен
Иллюстрация обложки: Полина Хамитова
Популярные комментарии
Александра ПоповаЧерт, хорошо, что я уже закончила школу и не буду читать эту макулатуру от авторов-маразматиков. Если гос-во так хочет учить нас созданию крепкой семьи (а идея сама по себе неплохая), то пусть пособия пишут психологи с МЕДИЦИНСКИМ образованием. А церковники пусть в светское учреждение не лезут. Всё.
«Для молодого мужа неестественно выражать чувства так, как это было до брака». Что пишут в учебниках по семьеведению
Наталия ТимофееваКакая недалекость. Так как вы рассуждают, те, кто сам не повзрослел, так как обвиняют других, в частности психологов, а своих изъянов не замечают. Крайности, особенно в воспитании детей, до добра не доводят, что доказана самой жизнью. Потому во всем должна быть мера, и в ласке, и в строгости. Уважение к чьим-либо чувствам не должно быть однобоким. Любая семья основывается на взаимных любви, уважении, поддержке, иначе никакие методы воспитания не помогут.
Сын и дочь упрекают меня, что в детстве я мало их любила. Как объяснить, что тогда я была просто очень уставшей мамой?- O E
«Мы же в России живём, значит и общаться должны на русском языке.» Вот это да, неужели?)) Общаться можно на любом языке, тем более, что в России насчитывается более 150–170 живых языков народов страны, а с учетом диалектов и редких наречий — более 270. А наказывать надо таких, как Олег Савельев, которые без мата не умеют свои скудные мыслишки выражать. И позволяют себе везде его вставлять, даже тут в комментариях!
Поймете ли вы зумера? 7 сложнейших вопросов, которые это проверят
