Некоторым выпускникам проще поступить в вуз с помощью олимпиад — всероссийской или университетской. Мы изучили их архивы и выбрали 8 задач на логику, над которыми родители, кажется, будут ломать голову дольше, чем дети. А вы проверьте, истинное это высказывание или ложное.
Задача № 1, детективная
Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении. Виновен только один из них. Джонс сказал: «Это преступление совершил я». Смит сказал: «Это сделал Браун». Браун сказал: «Я не виновен».
Только один из них солгал. Определите, кто на самом деле виновен.
(Олимпиада «Высшая проба», 2011 год)
Задача № 2, сказочная
Благородный рыцарь оказался в ловушке у коварного короля. Перед ним коридор, в который выходят три двери. Известно, что за каждой дверью кто-то есть — либо принцесса, либо тигр. Король дал рыцарю единственную подсказку: принцесса может оказаться только за той дверью, на которой написана истина, а тигр — только за той, на которой ложь.
(Общее количество тигров и принцесс не регламентировано: во всех трех комнатах может быть по принцессе, равно как во всех трех комнатах могут оказаться тигры).
Вот какие надписи были на этих дверях:
- дверь первая: за дверью № 3 находится принцесса;
- дверь вторая: за дверью № 1 находится тигр;
- дверь третья: за дверьми № 1 и № 2 находятся тигры.
(Муниципальный этап ВсОШ по обществознанию, Нижегородская область, 2024 год)
Задача № 3, избирательная
На пост президента Умляндии баллотировались три кандидата — Шварцкопф, Вайсман и Грюнбаум. Накануне голосования они сделали следующие прогнозы относительно результатов президентской гонки:
- Шварцкопф: «Второе место займу я или Грюнбаум».
- Вайсман: «Шварцкопф займет третье место».
- Грюнбаум: «Вайсман станет президентом».
Как показали результаты выборов, только один из них ошибся, но именно он и стал президентом. Определите, кто какое место занял.
(Олимпиада «Высшая проба», 2011 год)
Задача № 4, праздничная
Сергей и Дима незнакомы. Вместе с другими людьми, которые тоже их не знают, они участвуют в интеллектуально-развлекательном шоу. Ведущий делает следующее объявление: «Вы знаете день недели, в который вы родились, но не знаете день недели, в который родился ваш напарник». Затем ведущий обращается ко всем участникам: «Сергей и Дима родились в смежные дни. Я буду задавать Сергею и Диме один и тот же вопрос, исходя из их ответов, попробуйте угадать, в какой день родился Сергей».
«Еще я дам вам небольшую подсказку: Дима родился не в субботу», — далее ведущий поочередно спрашивает Сергея и Диму: «Знаешь ли ты, в какой день недели родился другой участник?» — и получает следующие ответы:
- Сергей: «Нет».
- Дима: «Нет».
- Сергей: «Нет».
- Дима: «Нет».
- Сергей: «Нет».
В какой день родился Сергей?
(Региональный этап ВсОШ по обществознанию, 2022 год)
Задача № 5, преступная
В ограблении банка подозреваются трое: Кошкин, Мышкин и Собачинский. Известно, что:
1. Если виновен Кошкин или Мышкин, то невиновен Собачинский.
2. Если виновен Собачинский, то и остальные двое виновны.
3. Если неправда, что Кошкин и Мышкин оба невиновны, то виновен Собачинский.
Определите, кто виновен, а кто нет.
(Олимпиада «Высшая проба», 2011 год)
Задача № 6, тарабарская
На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут. Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает первого: «Ты из племени В?»
Тот отвечает: «Тарабара».
«Он сказал „да“, — поясняет второй. — Но не верьте ему — он ужасный лжец».
К какому племени принадлежит каждый из них?
(Региональный этап ВсОШ по обществознанию, 2021 год)
Задача № 7, парламентская
В парламенте тридесятого государства, состоящем из 100 депутатов, есть только три фракции: правдорубы, правдофобы и деньгофилы. Правдорубы всегда говорят правду, правдофобы всегда лгут, а деньгофилы иногда говорят правду, иногда лгут.
На вопрос «Какая фракция является самой многочисленной?» 70 депутатов ответили, что большинство составляют правдофобы, 29 сказали, что преобладают правдорубы, а один заявил, что правдорубов и правдофобов поровну.
Определите, сколько на самом деле в этом парламенте правдорубов, правдофобов и деньгофилов. Обоснуйте свой ответ.
Задача № 8, продуктовая
В трех пачках находятся спички, сахар и соль. На первой пачке написано «Соль или сахар», на второй — «Сахар», на третьей — «Соль». Содержимое ни одной из пачек не соответствует надписи на ней.
Где что находится?
Ответы
Детективная задача
Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Я не виновен»). Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия). По условию задачи, из всех троих солгал только один. Значит, это либо Смит, либо Браун. Получается, Джонс сказал правду, и его высказывание «Это преступление совершил я» истинно. Ответ: виновен Джонс.
Сказочная задача
За второй дверью — принцесса, за остальными — тигры.
Представьте, что вы стоите на месте этого рыцаря перед тремя дверьми. Вы подходите к первой, на ней написано, что принцесса прячется за третьей дверью. Подумайте: если надпись на первой двери истинна и за ней принцесса, значит, за третьей — тоже, но на третьей двери написано, что за первой и второй прячутся тигры. Что-то не сходится… Они противоречат друг другу. Пока обойдем первую дверь стороной — от тигров подальше.
Подойдем ко второй двери с надписью «За первой дверью тигр». Это кажется правдой, так как за первой дверью точно не принцесса. А значит, за третьей дверью не может быть принцессы, так как мы уже пришли к выводу, что надписи на первой и третьей дверях — ложные. Значит, истина уже перед нами, и за второй дверью принцесса.
Избирательная задача
Пойдем по пунктам и сначала допустим, что ошибся Шварцкопф. Тогда ни он, ни Грюнбаум не заняли второе место. Значит, второе место занял Вайсман. Но тогда ошибся и Грюнбаум, заявивший, что Вайсман станет президентом. Согласно условию, ошибся только один, получается противоречие. Значит, Шварцкопф не ошибся и не стал президентом.
А если ошибся Вайсман и стал президентом? Получается, Шварцкопф не занял третье место (по прогнозу Вайсмана) и занял второе место. Тогда Грюнбаум, не ошибившийся в том, что президентом станет Вайсман, занимает 3-е место. Шварцкоф тоже говорит правду, ведь он утверждал что он сам или Грюнбаум займет второе место.
Но перестрахуемся и допустим, что ошибся Грюнбаум. Значит, президентом стал он, он же занял первое место. Вайсман, таким образом, президентом не стал (вопреки ошибочному прогнозу Грюнбаума). Но это же значит, что Шварцкопф занял третье место (Вайсман прав), а сам Шварцкопф в своем утверждении ошибся: Грюнбаум занял первое место, а он не мог занять второе, если ошибку допустил только один из кандидатов. Значит, Грюнбаум не ошибся.
Получается, Вайсман ошибся и занял первое место, Шварцкопф — второе, Грюнбаум — третье.
Праздничная задача
После первого вопроса ведущего Сергей мог ответить «да», только если его день рождения в пятницу или воскресенье, потому что он знает, что Дима родился в смежный день и это не суббота. Сергей ответил «нет», значит, он родился не в пятницу и не в воскресенье.
Идем дальше. Если бы Дима родился в понедельник или четверг, то, зная, что Сергей родился не в пятницу и не в воскресенье, Дима бы понял, когда родился Сергей. Но Дима отвечает «нет» на вопрос ведущего, значит, Дима не мог родиться в четверг или в понедельник.
Аналогично Сергей отвечает «нет», поэтому Сергей не мог родиться в среду или вторник.
Так как Дима отвечает «нет», он не мог родиться во вторник или в среду. Так как Сергей снова отвечает «нет», он не мог родиться в понедельник или четверг. Остался единственный день недели, когда мог родиться Сергей, — это суббота.
Преступная задача
Первое и третье условия перекликаются: получается, если виновен хотя бы один из двоих (Кошкин или Мышкин), то по первому условию Собачинский невиновен, а по третьему — виновен. Если предположение приводит к противоречивому заключению, оно неверно: ни Кошкин, ни Мышкин виновными быть не могут.
Остается решить вопрос с Собачинским. Из второго условия видно, что, при условии виновности Собачинского, Мышкин и Кошкин тоже окажутся виновными. Однако известно, что они оба невиновны. Значит, Собачинский тоже невиновен.
Тарабарская задача
Мало кто на вопрос «Ты лжец?» («Ты из племени В?») в первую же встречу ответит «да». Это «парадокс лжеца» — ответы на подобные вопросы всегда будут «нет», так как лжецы всегда будут лгать, а правдолюбы — говорить правду.
Поэтому допустим, что ответ «тарабара» первого туземца значит «нет». Второй туземец переводит «тарабара» как «да» и добавляет, что первый из племени лжецов и ему не нужно верить. Но вспоминаем «парадокс лжеца» и получаем ответ: первый туземец из племени А, второй — из племени В.
Парламентская задача
Допустим, 70 человек, ответивших, что большинство составляют правдофобы, сказали правду. Тогда они точно не правдофобы — они не могли бы сказать правду. Однако 70 человек — явное большинство. Получаем противоречие. Следовательно, эти 70 человек солгали, и, вопреки их ответу, правдофобы не составляют большинство. Учитывая, что эти 70 находятся в большинстве, но не являются правдорубами, можно утверждать, что большинство в парламенте составляют деньгофилы.
Допустим, что 29 человек, ответивших, что преобладают правдорубы, сказали правду. Но мы уже точно знаем, что большинство в парламенте составляют деньгофилы. Следовательно, эти 29 человек тоже соврали — они правдофобы или деньгофилы (возможно, часть из них правдофобы, а часть — деньгофилы).
По условию, в парламенте тридесятого государства представлены 3 партии. Значит, обязательно должны быть правдорубы. Однако уже известно, что 99 депутатов солгали. Остался один, который заявил, что правдорубов и правдофобов в парламенте поровну. Поскольку он точно правдоруб, его слова правдивы. А так как он всего один, то (согласно его утверждению) можно заключить, что и правдофоб в парламенте всего один.
100–1–1 = 98.
В парламенте 1 правдоруб, 1 правдофоб и 98 деньгофилов.
Продуктовая задача
В первой пачке — спички, во второй — соль, в третьей — сахар.
В первой пачке не может быть ни соли, ни сахара. Там лежат спички. Во второй пачке — ни сахара, ни спичек, значит, там лежит соль. Единственный вариант содержимого третьей пачки — сахар.
Обложка: © VectorPixelStar / Shutterstock / Fotodom
