Математика — кажется, предмет-рекордсмен по нелюбви и непониманию. Потому что или ты математик и любишь её, или не очень математик и до 11 класса мучаешься. Но даже математика в школе может стать чуть интереснее, если взять другие задачи. О том, что такое кружковая математика и в чём её преимущества — рассказал учитель математики «Хорошколы» и научный сотрудник мехмата МГУ имени Ломоносова Андрей Канунников.
В чём отличие кружковой математики от обычной
У нас в школе все классы разделены на мини-группы по уровням, то есть на уроке одновременно находится примерно семь учителей (вместе с ассистентами). Каждой группой занимаются один-два человека. Так работают во многих математических школах — мы перенесли эту практику в «Хорошколу» и занимаемся с детьми всех уровней. Идея в том, чтобы общаться со школьниками индивидуально. Какая лучшая форма обучения? Такая, когда учитель разговаривает с учеником, задаёт ему правильные вопросы. Только так можно научить — общаясь с детьми. Они поднимают руки, выдают преподавателю свои мысли — в этот момент они раскрываются.
Но моя методика не только в группах. Во-первых, я меняю порядок тем. Во-вторых, активно добавляю элементы кружковой математики: например, объяснять учителю, как решал задачу, — это кружковый стиль. И у нас дети на уроках помимо традиционных и решают логические кружковые задачи.
Чем они отличаются? То, что называется традиционной школьной математикой — это задачи из школьных учебников. По условию задачи можно сказать, относится она к той или другой математике. Но есть задачи, которые могут быть и там и там. Разница между стандартной и кружковой математикой в подходе.
Стандартный подход: учитель объясняет новую тему и как решаются типовые задачи, школьники потом решают задачи по образцу. А в кружковой математике учитель сначала ничего не объясняет. Школьники сразу начинают с задач. Они начинают решать, поднимают руки и обсуждают решение с преподавателем. Школьник решил или думает, что решил. Идея в том, чтобы он объяснил логику решения. Все думают по-разному. Можно прийти к правильному ответу разными путями, можно по хорошему пути прийти к неправильному, а можно вообще не понимать, как это надо решать. Опытные учителя стараются не говорить «это неверно», а задать вопросы — почему так. Чтобы школьник сам дошёл до того, что его решение неверное.
Кружковая математика, как вся математика, учит рассуждать, только она это делает другим способом — не через объяснение теории, а через усилия, которые прикладывают сами школьники, ещё ничего не зная. Чтобы решить кружковую задачу, не нужно ничего знать, достаточно здравого смысла, немного логики и простейших навыков счёта. Задачи кружковой математики решают даже двоечники. И делают это лучше, чем отличники, которые привыкли всё делать строго по образцу.
Например, классическая задача математика Давида Гильберта, который ещё в конце XIX века говорил: кто её решит без вычислений, тот прирожденный математик.
Есть два одинаковых стакана — стакан кофе и стакан молока. Объём кофе равен объему молока. Из стакана молока зачерпнули чайную ложку, перелили в кофе и небрежно перемешали. Потом из полученной смеси зачерпнули ложку и перелили в молоко обратно. Чего теперь больше: молока в стакане с кофе или кофе в стакане с молоком? Сложность в том, что мы не знаем, как перемешали, как зачерпнули — жидкость после первого переливания явно не стала однородной, молоко не успело равномерно распределиться.
Эта задача учит разбирать крайние случаи. И в ней как раз важен элемент неопределённости. В школьных задачах, как правило, всё ясно. Два путника шли навстречу друг другу. Что-то из расстояния и скорости известно, что-то нет и надо найти неизвестное. Здесь надо ответить на вопрос, когда у тебя есть неполная информация. Мы не знаем, сколько при втором переливании было кофе, а сколько молока. Вдруг мы перелили обратно всю ложку молока, не успев её размешать? Тогда ответ очевиден: в кофе нет молока, а в молоке нет кофе. А второй крайний случай: мы перелили молоко, а зачерпнули кофе. В обоих случаях ответ один — поровну. И это должно навести на мысль, что и во всех остальных случаях, не крайних, ответ будет один — поровну. Это и есть правильный ответ.
Сначала многим это не кажется очевидным. Тут важно, что общий объём до и после — всегда один и тот же. В финале представим, что и слева и справа есть и молоко, и кофе. По объёму они занимают одинаково. И уровни жидкости у них одинаковы. То есть в первом стакане молоко плюс кофе — по объёму весь стакан. И во втором стакане кофе плюс молоко — по объёму такой же стакан. Кружковая математика очень интересная и правда доставляет детям радость.
Почему с математикой может справиться и понять любой. Даже тот, кто её терпеть не может
Я знаю людей, которые стали хорошими учёными, а в школе очень не любили математику. Поэтому я никогда не пытаюсь поскорее сделать вывод о способностях детей и вообще никогда ни на ком крест не ставлю. Уровень знаний может быть низкий. Но надо постараться ребёнка раскрыть и понять, что он не виноват, что его плохо учили. Надо постараться разобрать завалы. Даже если школьник неправильно решает, нужно посмотреть, как он рассуждает, какой у него ход мысли. У Менделеева в вузе все были двойки, и только по математике была тройка.
Ведь дело в том, что те, у кого склонностей к математике якобы нет, или кого убедили, что их нет, или кто так сам решил, решая школьные задачи, — зачастую неправы. Скорее всего, человеку просто не нравится школьная математика. Увы, вместо того, чтобы постараться заинтересовать, учителя говорят: надо и всё, будет экзамен. Это нелепо — учить ради экзамена. Школьник не подписывался под этим и не удивительно, что он протестует, когда его насильно заставляют делать что-то бессмысленное и неинтересное. Задача учителя — не давить, объяснять, что ошибаться нормально, а главное, говорить на грамотном математическом языке и показывать, что он неравнодушен. Надо вызвать уважение и интерес к предмету, искренний, внутренний. Как раз кружковая математика в этом может сильно помочь.
У нас в школе есть семиклассница, которую, как мне рассказал психолог, в старой школе «ранила математика». Девочка говорила, что все эти скобки и их раскрытие, преобразования — всё это скучно и ей не нравится. Так вот эта девочка, оказалось, прекрасно решает кружковые задачи. Однажды я её позвал, она вышла и перед всем классом идеально объяснила задачу. При этом в обычной школьной математике она допускает грубые ошибки. То есть благодаря кружковым задачам она изменила своё отношение к математике, у неё появился интерес, вера в себя, она больше не боится.
Конечно, делать по шаблону — скучно. И я очень хочу, чтобы ученики учились неформально мыслить на примерах кружковых задач и переносили это на математику вообще.
Например, одна из самых популярных задач школьной математики — решить квадратное уравнение. Многие уравнение (х+1)²= 4 начинают решать по схеме — раскрывают скобки, потом дискриминант и так далее. Но это ужасно нерационально и нелогично! Такое решение показывает, что ученик вообще не задумывается и не понимает, откуда берётся формула корней. А это уравнение не надо решать по формуле. Здесь надо просто найти числа, которые в квадрате дают 4, то есть х+1 это или 2, или -2. А тогда х равен 1 или -3.
Я встречал школьников, которые после этого объяснения говорили — а мне по формуле проще. Таких школьников, на мой взгляд, нужно учить математике, чтобы они просто научились логически мыслить.
Как доказать детям, что математика — это не только полезно, но и красиво (да!)
Чтобы заинтересовать школьников математикой, надо рассказывать историю математики, о великих учёных прошлого, о современных учёных, надо показывать связь математики и жизни, значимость открытий прошлого для настоящего. Скажем, как древние египтяне строили прямой угол с помощью верёвки, натягивая её в форме треугольника со сторонами 3, 4, 5 — он называется египетским. Как подобие треугольников использовали, чтобы посчитать высоту дома или дерева, даже если они на противоположном берегу реки. Я так делаю и со студентами, и в школе. Это обязательно. Одна из бед образования вообще и математического особенно — то, что математика оторвана от жизни, и это надо опровергать.
Аргумент «учи, потому что надо» — больше не работает. Может, и раньше не работал. Но дети учились через пень колоду и не осмеливались задавать вопросы «зачем мне это надо?». Впрочем, зачем учить в школе, например, логарифмы — вопрос дискуссионный. Но когда школьники начинают учить логарифмы, у них обычно уже такой провал в знаниях, что они просто не могут их воспринимать адекватно. Задача школы и учителя математики — не то, чтобы в финале все знали одно и то же. Все люди разные, у всех разные потребности. Проблема школьного образования действительно в его обязательности и отсутствии индивидуального подхода.
С какими проблемами сталкиваются учителя (всех предметов)
Первая проблема, с которой сталкивается учитель, который искренне хочет научить, — к нему приходят школьники с разным начальным уровнем. Поэтому найти какое-то объяснение, которое будет понятно и интересно всем, трудно. У кого-то проблемы за предыдущие классы: учитель объясняет в 8 классе правила раскрытия скобок, а кто-то ещё с числами не может работать. И что — учителю надо для всех повторять? Если бы он учил конкретно этого школьника или двух-трёх, у которых такой уровень, он мог находить объяснения, которые понятны именно им. Но он учит весь класс.
Вторая проблема — разная степень мотивированности. Кому-то надо объяснять, зачем это всё проходить. Кого-то надо просто привести в чувство, потому что он стоит на голове. Или его вообще надо учить чему-то другому. Поэтому мы делим на мини-группы по уровням. Как учат на языковых курсах? Сначала делят по уровням, и никто не обижается, почему он попал в ту или иную группу. То же можно сказать про любую дисциплину — всех нужно учить в соответствии с их уровнем знаний и заинтересованности.
Что отличает математику от других дисциплин — это то, что в ней, пожалуй, остро проходит граница не только между верным и неверным, но и между осмысленным и неосмысленным, между понятым и непонятым. Тут не бывает каких-то промежуточных вариантов: или ты правильно решил задачу, или неправильно, ответ верный или неверный, убедительное доказательство или нет. Понял или не понял, можешь выйти объяснить всем, осмысленно ты говоришь или нет, понимаешь ли ты смысл тех слов, которые произносишь.
Про триместровую систему оценок в математике
Мы оцениваем детей три раза в год. По триместрам. Во триместра дети не получают оценок, но постоянно получают обратную связь — что получилось, что нет, что делать дальше. Оценка зависит от того, как они покажут себя на финальных мероприятиях — устных, письменных, контрольных, коллоквиумах. Но если школьник хорошо проявил себя на предыдущих контрольных по какой-то теме, эта тема на финальной аттестации может быть ему полностью закрыта автоматом — как в университете. Но надо убедить учителя, что ты в этой теме идеально разбираешься.
Школьник решает задачи полностью самостоятельно — и это уже его объективный уровень. В следующий триместр он может оценку повышать, приходить на дополнительные занятия. Совсем без оценок не получается. Как зарплата должна быть не главным, но одним из стимулов для работы, так и оценки — для обучения. Не надо учиться ради оценок, но если их вообще нет, мало какой школьник будет учиться. Многие школьники, к сожалению, так воспринимают математику, так как она входит в число обязательных экзаменов — надо выучить, сдать и забыть. Но учиться, чтобы сдать экзамен — это порочная цель и абсурд.
О сходстве и различии кружковых и олимпиадных задач
Я составлял несколько лет задачи для Московской городской олимпиады. В них, как правило, есть какая-то необычная идея или трюк. Они проверяют умение нестандартно мыслить. По сравнению с кружковыми у них другая цель. Цель кружковых — научить. В чем разница между уроками физкультуры и тренировками олимпийцев? Уроки физкультуры развивают человека, он становится сильнее. На тренировках перед соревнованиями люди тренируются, чтобы показать результаты лучше, чем у других, которые так же тренируются. То есть это работа на износ, это вредно для здоровья.
Кружок — это физкультура, гимнастика ума. Олимпиада — это соревнование, спортивное мероприятие
Тут надо за ограниченный период времени решить определённое количество задач. К олимпиадам можно готовиться. Конечно, такие люди прошли кружковую математику, для них это семечки, как бегуну выполнить нормативы на уроке физкультуры.
Иллюстрации: Shutterstock (Sapunkele)
Кстати, как решать уравнение (х+1)^2=4 без дискриминанта нас учили и в обычной школе на обычном уроке математики.