3 на 4 или 4 на 3. За что детям снижают отметки в тетрадях по математике и правильно ли это

Второклассник решает задачу: «В коробке 20 карандашей. Сколько карандашей в 3 коробках?» Казалось бы, умножаем, получаем ответ, радуемся. Но родители жалуются: детям теперь снижают оценку, если решение записано как 3×20. Потому что правильно — 20×3. Справедливо ли это? Разбираемся вместе с педагогом, автором телеграм-канала «Математика на бегу», руководителем квестов проекта «Математические тропинки» Дарьей Шаинской.

Вместо вступления

Честно говоря, я стараюсь обходить стороной острые дискуссии в соцсетях. В случае, когда обсуждение проходит за экранами мониторов, сложно поверить, что в споре действительно может родиться истина. Но этот вопрос, влекомая профессиональным интересом, я пропустить не смогла.

Я стараюсь учить детей не только математике, но и способности критически относиться к любой имеющейся у них информации, взвешивать все за и против, внимательно слушать доводы различных сторон. И вот мне, кажется, представилась прекрасная возможность потренировать у себя те же способности. Поэтому и появилась эта статья — результат работы над собой. Это не попытка доказать, кто прав, а кто виноват, и не советы, что делать с виноватыми. Это попытка разобраться, почему вопрос оформления задач на умножение вообще возник в методике преподавания математики и как он может повлиять на понимание ребенком этого предмета в будущем.

История вопроса

Первым источником, к которому я обратилась в поисках информации, был прекрасный, давно ставший классикой учебник арифметики Андрея Петровича Киселева. Впервые изданный в 1884 году, в 1938-м он и в Советском Союзе оставался основным учебником для 5–6-х классов.

Примерно тот же текст я нашла и в учебнике «Арифметика» И. Н. Шевченко 1959 года, и в ряде современных учебников. Со временем методисты лишь отказались от названий «множимое» и «множитель». Не давая этому никаких эмоциональных оценок, можно лишь сказать, что школьное требование о порядке множителей при записи умножения действительно существует и обусловлено уже многовековой педагогической практикой. Такой подход делает первые шаги детей в освоении операции умножения более алгоритмичными и простыми.

Для чистоты эксперимента я обратилась не только к русским, но и к англоязычным учебникам. Каково же было мое удивление, когда во всех без исключения английских учебниках я увидела диаметрально противоположный подход к порядку записи множителей.

Англичане считают «3 раза по 4» и записывают 3×4, а, согласно нашей методике, это «4, повторенное 3 раза» и записывается как 4×3.

Так, может быть, в этом подходе и нет ничего страшного, если он обусловлен исключительно методическими традициями разных стран и культур?

Побочные эффекты

К сожалению, описанный выше подход к введению операции умножения может иметь крайне неприятные «побочные эффекты», с которыми ученики могут столкнуться при дальнейшем изучении математики.

В первую очередь поговорим о проблемах, связанных с наименованиями. Киселев в пояснениях к изложенному теоретическому материалу уточняет, что в прикладных науках (например, в физике) часто перемножают между собой именованные числа «и тогда наименование произведения рассматривается как произведение наименований сомножителей».

В новых учебниках на этом моменте внимание школьников, к сожалению, не останавливают

И тогда первые противоречия у внимательного ученика появятся совсем скоро: ведь если мы умножаем некоторую величину в сантиметрах на что-либо еще, мы обязательно получим ответ в тех же единицах — сантиметрах. Почему же тогда площадь измеряется не в сантиметрах, а в квадратных сантиметрах? Откуда новая единица измерения? Ограничиваясь тем же узким определением умножения, мы никогда не сможем разумно объяснить этот факт. А величина кВт•ч, скорее всего, на всю жизнь останется набором букв…

Читайте также:

Учим таблицу умножения: 5 советов родителям и 5 идей для детей

Следующая проблема еще более очевидна: опираясь на такое определение умножения, ребенок рискует не осознать до конца естественность переместительного закона умножения (математики называют его коммутативностью). Или, что еще хуже, будет верить, что «в примерах так можно, а в задачах нельзя». Тогда теряется самое важное — понимание, что математика как наука появилась исключительно ради решения повседневных задач и все столбики примеров, решенные нами в школе, на самом деле решаются ради приобретения этого же навыка.

Кроме того, привычка записывать множители в определенном порядке может усложнять и процесс вычисления

Если в задаче появляются 60 пеналов, в каждом из которых лежит по 3 карандаша, ребенок, ведомый сформированной привычкой, будет вычислять сумму шестидесяти троек. Что, несомненно, дольше, чем найти сумму трех слагаемых, равных 60.

И, наконец, последнее. Этот аргумент касается не столько порядка расположения множителей при записи, сколько самого объяснения операции умножения. Если на уроках мы концентрируем внимание детей на том, что умножение — это исключительно альтернативная запись суммы повторяющихся слагаемых, то они невольно придут к ошибочному выводу — произведение всегда больше множителей.

Я сталкивалась с этим при работе с учениками средней школы — результат умножения 12 на 0,5 вызывает у них недоумение. И, кроме того, как сложить 12 половину раза?

Все вышеперечисленное сказано не с целью осудить изложенный в некоторых учебниках подход. Я верю, что введение операции умножения через сложение — удобный и удачный метод. Но он ни в коем случае не должен быть единственным обсуждаемым в школе.

Почему все так?

Утверждение может показаться шокирующим, но школьная программа действительно построена так, что учителям невольно приходится периодически обманывать детей. Точнее, не обманывать, а недоговаривать. Уверена, каждый из нас (и родитель, и учитель) хоть раз говорил младшему школьнику, что «из 5 нельзя вычесть 7» или «8 не делится на 3». А потом, в средней школе, неожиданно выясняется, что все это возможно. «Почему бы тогда сразу не открыть школьникам всю правду?» — спросите вы.

Давайте представим: школьная программа по математике изменилась до неузнаваемости. Теперь шестиклассникам не нужно с трудом привыкать к отрицательным числам, потому что они прошли их в первом классе, сразу после знакомства с натуральными числами. Во втором классе дети учатся делить и узнают, что можно найти частное любых двух чисел (если делитель не ноль, конечно). Да, иногда в результате получаются бесконечные десятичные дроби. Эти дроби называются периодическими, они стоят в программе следом за делением.

Восьмиклассники, обсуждая операцию извлечения квадратного корня из числа, узнали о существовании комплексных чисел, научились располагать их на комплексной плоскости… Звучит как антиутопия, достойная пера Оруэлла, правда?

Именно поэтому школьная программа построена таким образом, чтобы ученик постепенно знакомился с основными математическими понятиями, разными числовыми множествами сообразно его возрастным особенностям и накопленному опыту.

За 11 школьных лет современному ребенку нужно пройти путь, напоминающий тот, который прошло человечество более чем за 25 веков

Должны ли мы сознательно обманывать ребенка, чтобы упростить ему этот путь? Или важнее сразу показать полную (или почти полную) картину мира? Это очень сложный и индивидуальный вопрос. Но независимо от того, какое решение мы примем, мы всегда можем помочь своим детям на пути изучения математики — подарив им своё время и терпение.

Так что же делать?

Представим, что вы уже столкнулись с такой ситуацией: ребенку снизили оценку за «неправильную» запись умножения. Самая большая ошибка, которую вы можете совершить, — это проигнорировать инцидент.

Найдите время обсудить с ребенком истоки такого подхода, озвучьте, что привычные нам множители раньше были «множимым» и «множителем», убедитесь, что ребенок почувствовал разницу. Обязательно покажите ему альтернативный способ введения операции умножения. Нарисуйте прямоугольник в клеточку (см. рисунок). И спросите: что он видит на рисунке? 5 рядов по 6 клеток в каждом или 6 столбцов по 5 клеток в каждом?

Объясните, что на первый взгляд неразумное требование к записи создано специально для тех, кому тяжело постичь суть умножения. Такой способ крепко связывает новое для него умножение с привычным уже сложением. И если он уже сейчас интуитивно чувствует, что множители можно менять местами, значит, он просто ушел в понимании умножения на шаг вперед.