Итоговые отметки в школах: как их выставляют и почему этот метод несовершенен

Мы уже рассказывали, что каждая школа сама устанавливает порядок промежуточной аттестации. Но чаще всего учителя просто подсчитывают среднее арифметическое. Почему такой способ противоречит правилам математики (а иногда и вредит детям), разбирается наш блогер Юрий.

Вы знаете, как найти среднюю оценку ученика за четверть или год? «Это же просто, — ответит читатель, — конечно, через среднее арифметическое: складываем все оценки и делим на их количество». Второй вопрос сложнее: почему для этой цели используют среднее арифметическое? В этом месте мой собеседник обычно берет паузу, чтобы подумать. «Ну, так всегда делали в школе», «Так рекомендует департамент образования», «А как иначе можно найти среднюю оценку, как не через среднее арифметическое?»

Действительно, вопрос ставит в тупик. Современному учителю теперь даже не нужно задумываться, как вычислить среднюю оценку. За него это сделает электронный дневник. А уж создатели дневника сами позаботятся, как вычислять среднюю оценку: через среднее арифметическое или через среднее взвешенное.

В англоязычных странах оценки выставляют буквами латинского алфавита. К примеру, А — это отлично, В — хорошо, С — удовлетворительно. Уровни градации могут несколько различаться в зависимости от страны. Если школьные оценки выставлять буквами, как в таком случае применить среднее арифметическое? Я не знаю, как выставляют итоговые отметки там (если кому-то известно, пишите в комментариях), но знаю, что среднее арифметическое использовать точно нельзя.

Почему? Ответ скрывается в типе измерительной шкалы, применяемой для школьного оценивая. Измерительная шкала — одно из основополагающих понятий для любого измерительного процесса. Каждый раз, проводя измерения какого-либо свойства, мы сравниваем это свойство с заранее заданной шкалой, которая проградуирована в единицах этого свойства. К примеру, измеряя ширину стола мы сравниваем это свойство стола (ширину) со шкалой на рулетке, проградуированной в сантиметрах и миллиметрах.

Данные, которые мы получили в результате измерения, в зависимости от типа шкалы, могут обладать различными ограничениями по применению к ним математических действий. Шкала, которая используется для оценивая знаний в школе — порядковая. Порядковые шкалы работают с качественным данными — их можно упорядочить, то есть ранжировать по возрастанию или убыванию изучаемого признака. Школьные оценки — это качественные характеристики, а не количественные: 5 — отлично, 4 — хорошо, 3 — удовлетворительно. И пусть вас не смущает использование цифр, они там всего лишь для солидности, мы с таким же успехом можем использовать буквы, фрукты или машинки.

При этом в порядковой шкале интервалы между соседними значениями не отражают разрыва между реальными результатами. Математическая разница между тройкой и четверткой, и разница между четверткой и пятеркой — ровно один балл. А разница в реальных знаниях школьного предмета может быть совершенно разной. И даже два ученика, получившие одну и ту же оценку, могут владеть материалом по-разному.

Так как в порядковой шкале не заданы равные интервалы между соседними значениями, все действия по сложению и вычитанию оценок не имеют смысла. А вычисляя среднее арифметическое мы как раз и используем сложение оценок. Конечно же, сами числа не возмутятся, а калькулятор не запретит выполнить нам подобные вычисления, но какой в этом будет смысл?

Порядковая шкала нам позволяет лишь сравнивать между собой значения: что больше, а что меньше. Но на сколько больше или меньше для данных, полученных с помощью порядковой шкалы, мы не знаем. Порядковые данные мы можем лишь упорядочивать в порядке возрастания или убывания, а школьные оценки, по своей сути, являются лишь порядковыми номерами.

Если в шкале школьных оценок нельзя использовать среднее арифметическое, как тогда находить среднюю оценку? Для порядковых шкал есть свой инструмент нахождения среднего значения — это медиана. Для нахождения медианы нам нужно упорядочить оценки по возрастанию или убыванию. Средней будет та, которая располагается в ряду ровно посередине. Например, ученик получил за четверть 2,3,4, 4, 4. Если использовать медиану, то в четверти у него выходит 4. А если бы мы подсчитывали среднее арифметическое, у ребенка вышла бы тройка. Как видите, все достаточно просто.

Десятки лет в наших школах находят среднюю оценку, нарушая основы математики. Сила традиции и привычки настолько велика, что, скорее всего, вы не согласитесь со мной и по-прежнему будете настаивать на использовании среднего арифметического. Чаще всего, среднее арифметическое с последующем округлением будет давать результат, сходный с медианой, но это не повод для ошибочных рассуждений в подобных вычислениях.

Если вас заинтересовала эта тема, вы не согласны со мной и хотите больше примеров и подробных объяснений, специально для вас я записал это подробное видео: рассказываю, почему ошибается даже электронный журнал, когда считает средневзвешенный балл, и выясняю, какую отметку выставит ChatGPT.

Фото: Anton Vierietin / Shutterstock / Fotodom