Как научиться решать примеры и перестать бояться математики

Зачем школьникам математика? Чтобы написать контрольную, сдать ЕГЭ, поступить в вуз. Но не только. Математика описывает окружающую нас жизнь. За этим предметом скрывается фантастический мир, красота и музыкальность. Как полюбить математику и перестать бояться сложных задач, рассказал доцент факультета систем управления и робототехники ИТМО, преподаватель Алексей Перегудин.

Волшебный мир

Математика помогает сформировать структурированный взгляд на мир. При этом она требует большой фантазии, ведь математики умеют видеть нечто общее в самых разных на первый взгляд явлениях. Простой пример: у тебя два яблока или два стула. Ты должен абстрагироваться от этих объектов и подумать о некой объединяющей их сущности — числе 2. Уходя в эту абстракцию, ты получаешь инструменты (математический аппарат), которые можно потом применить.

Мир математики сам по себе очень красив, но напрямую глазам и рукам он недоступен. Чтобы его познать, нужны интеллект и творчество. В этом мире протоптаны свои дорожки: широкие магистрали и маленькие тропинки. Настоящий математик исследует эти тропы, ищет новые пути и сокровища.

Примеров, как можно извлечь пользу с помощью математики, множество. Это и программирование ― например, все, что связано с искусственным интеллектом, нейросетями; робототехника, аналитика. Чтобы эффективно анализировать данные и делать выводы из чисел, нужно не просто брать калькулятор, выписывать и смотреть, а применять необычные методы, выходить за рамки задачи.

Как математика используется в жизни

Математика присутствует в нашей привычной жизни, даже если мы этого совсем не замечаем. Вот перед вами сахарница. Вы вдруг захотели перемешать ее содержимое. Как бы вы ни старались и не работали усердно ложкой, всегда найдется одна гранула сахара, которая не изменила свое положение. Математически это описывается правилами из современного направления геометрии — топологии.

Или, допустим, вы смотрите любимый сериал на стриминговом сервисе — вам рекомендуют видео, ориентируясь на то, что вы видели раньше. Любые рекомендательные системы работают на основе принципов линейной алгебры: исследуется массив информации, используется математический метод, который ранжирует контент и выбирает наиболее удачные совпадения.

Когда вы разговариваете по телефону или онлайн-связи, одновременно со звонком происходит фильтрация шумов ― без нее мы бы слышали много лишних звуков. Даже сейчас телефон, на который я записываю свои мысли о математике, использует эту технологию: дополнительный микрофон для активного шумоподавления пишет в первую очередь голос, а во вторую — внешнюю среду, он вычисляет разность между этими двумя звуковыми дорожками. Для такой простой задачи — снизить шум — используется в том числе очень продвинутая математика.

Когда мы ведем запись, на экране устройства появляется рисунок (скачущая звуковая дорожка): если говорить громко, линии станут больше, тише — меньше. Известный математик Фурье показал, что можно смотреть на вещи совсем по-другому — через призму одного интересного интегрального преобразования. Оно описывается страшной формулой, которая испугает любого школьника, но превратит этот звук в совершенно другую картинку, где будет видно, что справа, например, шумы, а слева — полезная информация. И мы можем убрать ненужное и оставить только ценную запись. Это очень простая вещь ― в каждом телефоне сейчас такую дорожку можно увидеть в том же диктофоне. Но чтобы ее описать, нам приходится прибегать к сложному математическому языку, который изучается только на 2–3-м курсе университета. В то же время в самой идее нет ничего по-настоящему сложного.

Даже самую сложную вещь можно объяснить через привычный образ. Истинная математика в том, чтобы, глядя на график, видеть не геометрическое начертание, а суть. У нас могут быть нарисованы два визуально разных графика, которые на самом деле отражают один и тот же процесс с разных сторон (математик скажет: «В разных базисах»). Таким образом можно, имея один график, например биржевую котировку, построить уникальную диаграмму, которую не покажет ни одно финансовое приложение. И на этой диаграмме будут видны отдельные составляющие экономических процессов — ценная информация, которую мы получили математическими методами.

Когда математика начинает «звучать»

Очень важно сделать шаг от боязни формул к восприятию их смысла. Это очень похоже на обучение музыке. Человек, который никогда не занимался музыкой, увидев лист с нотами, может испугаться ― он же не понимает эти символы, не знает, как они звучат. После этого происходит ступор. Нужно преодолеть этот этап: освоить математическую символику — все равно что познакомиться с грамотой. И после этого открывается возможность «слышать музыку» — это совершенно другой уровень удовольствия и пользы. Аналогично с чтением: первоклассник кропотливо учится читать — каждую букву нужно хорошо выучить, поначалу он читает по слогам, страдает, тратит много времени, а потом находит интересную книгу и увлеченно погружается в нее.

Для этого нужен хороший учитель или несколько, которые покажут мир идей, симметрии в математике. А формулы — это всего лишь язык. Бояться формул, правил, которые изучают в школе, не нужно. Да, они могут казаться страшными, скучными. Открою секрет: математик тоже не кайфует оттого, что пишет много буковок в вычислении! Его радость не в огромных формулах — а в открытиях, стирании границ, новых решениях.

Часто людей в математике пугают многомерные миры. В школе делают акцент на трехмерных пространствах, в университете количество переменных в задачах увеличивается. На самом деле, сами математики не могут представить себе многомерные пространства и физически ощутить геометрию большой системы уравнений. Их мастерство — думать о знакомом объекте, когда смотришь на незнакомый, смотреть на многомерное пространство так, будто оно обычное. И как раз для этого нужно воображение!

Подружиться с формулами

Совет учителям: если вы даете какую-то концепцию, сначала расскажите, где она может быть применена. Даже если немного слукавите, все равно покажите, какую практическую роль она может сыграть в жизни. Это мотивирует.

Чтобы понять сложные математические концепты, полезно смотреть на них с разных сторон. Когда-то я видел выступление одного спикера на TEDx — он рассказывал про дробь 4/3. И эксперт показал, как она выглядит, может звучать и проявлять себя в тексте. Так же и абсолютно любой математический объект — формулу, теорему — можно увидеть в разных образах. Здесь открывается простор для фантазии.

Помните притчу о трех слепых мудрецах? В город привезли слона. Мудрецы не знали, что такое слон, но слышали, что это великое животное. Когда они зашли в шатер к слону, то по очереди стали прикасаться к нему: один мудрец сказал, что слон — большая колонна (потому что потрогал массивную лапу животного), другой подумал, что слон — это веревочка (потому что коснулся хвостика). Если мудрецам повезет, то из набора своих представлений они смогут полностью собрать образ слона. Так же и с математикой ― надо присмотреться с разных сторон.

Когда я веду занятия, стараюсь проводить красочные аналогии, чтобы студенты поняли сложные концепты и термины. Например, как-то я объяснил понятие математических матриц (это таблицы с числами, с которыми можно по-разному взаимодействовать: вычитать, умножать, вычислять от них специальные функции) с помощью музыкального аккорда. Матрица очень похожа на музыкальный аккорд, потому что у нее есть составные части — как ноты в аккорде. Его можно сыграть на разных инструментах (на гитаре будет одно движение пальцев по струнах и грифу, на пианино — другое), так и матрицу можно представить в различных базисах — то есть написать ее с помощью разных цифр. Это очень глубокая аналогия, и с ее помощью можно понять сложные концепции (собственные числа матрицы, вектора и другие понятия из линейной алгебры). Мне очень нравится проводить такие сравнения. В первую очередь я делаю их для себя. Если нечто становится для тебя родным, в кармашке у сердца лежит — моя матрица, мое понимание, — этим приятно поделиться, и студенты, может, тоже тему лучше поймут. Важно делать математические объекты близкими себе — не идти от определения в учебнике, стараться своими словами все пересказать.

У меня есть курс на YouTube по линейной алгебре и теории автоматического управления, в котором я много внимания уделяю визуальной составляющей. Например, шрифтам, выделению цветами содержательных частей в текстах задач и формулах. Согласитесь, очень страшно выглядит огромная черная формула на белом фоне. Лучше ярким цветом отметить суть в написанном ― это позволит ребятам сконцентрироваться на важном и не потеряться. Материал не должен сидеть на троне, как величество сложных теорем, аксиом, уравнений, надо с ним подружиться — переписать, облегчить, подкрасить, присмотреться к нему с разных сторон.

Любопытство, любопытство и еще раз любопытство

Любопытство первостепенно в любом обучении, в том числе и в математике. Настоящий преподаватель сначала заинтересует темой, задаст вопрос, чтобы у школьника или студента появилось желание найти ответ. Совсем не страшно не знать каких-то теорем или символов! Стремление дойти до сути поможет ученику справиться с задачей и научиться.

По правде говоря, я довольно посредственно учился, порой прогуливал пары и некоторые темы изучил, уже будучи аспирантом. Однако после этого проснулся мой настоящий интерес к концепциям и теоремам. Теперь, когда я преподаю, стремлюсь заинтересовать студентов, зажечь их, показать красоту математики. Это важнее всего.

Конечно, универсальных рецептов, как изучать математику, нет. Но я бы хотел обратить внимание школьников (или их родителей, которые думают, как привить любовь к этому предмету) на следующее:

1. Помните, что мир математики состоит не из формул, а из интересных идей.
2. Если хотите «подружиться» с математическим объектом, попробуйте объяснить его себе своими словами ― как что-то, что вы придумали сами.
3. Найдите способы смотреть на одно и то же математическое понятие с разных точек зрения, используйте для этого фантазию.

Иллюстрации: Sapunkele / Shutterstock / Fotodom

Реклама. Рекламодатель: Университет ИТМО. LjN8KBnLL