Как перемножать в уме шестизначные числа

Математика — наука волшебная, просто в школе это от нас скрывают, заставляя считать в столбик и зубрить формулы. Профессор математики Артур Бенджамин не скрывает магию от своих учеников и широкой публики. Бенджамин выступает с научно-популярными лекциями и математическими шоу, на которых он перемножает и делит в уме шестизначные числа. Как ему удаётся делать невероятные вычисления в уме, Бенджамин рассказывает в книге «Магия математики: Как найти икс и зачем это нужно», которая вышла в июне в издательстве «Альпина Паблишер».

И с ходу несколько математических трюков из книги Артура Бенджамина.

Магия алгебры

1. Задумайте число от одного до десяти (хотя можно и больше)

2. Умножьте это число на два

3. Добавьте 10

4. Разделите на 2

5. Вычтите из результата изначально задуманное вами число

Уверен, получилось 5. Правильно?

Хотите узнать, в чем кроется секрет волшебства? В алгебре. Разберём фокус ещё раз, шаг за шагом, начиная с первого. Я понятия не имею, какое число вы загадали, поэтому давайте заменим его буквой N. Неизвестное число, обозначаемое буквой, называется переменной.

Шаг второй предлагает нам удвоить загаданное число, то есть мы, по сути, имеем 2N (знак умножения в алгебре принято опускать, в том числе и потому, что очень часто для обозначения переменной используется внешне похожая на него буква x). После третьего шага ваше число выглядит как 2N + 10. Четвёртая операция предлагает нам упростить пример, разделив все его части на 2: N + 5. И наконец, мы вычитаем загаданное число (то есть N): N + 5 — N = 5. Давайте соберём весь фокус в одну таблицу:

Магия счёта

Вот одна хитрость, с которой ещё в детстве столкнулся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Как-то раз на уроке математики учитель попросил класс сложить между собой все числа от 1 до 100. Вряд ли он хотел развлечь учеников — скорее, отвлечь: заставить заняться чем-нибудь нудным и требующим полного сосредоточения, а самому спокойно сделать другую работу. Представьте себе его удивление, когда через несколько секунд Гаусс вышел к доске и написал ответ — 5050. Хотите знать, как он это сделал? Он просто представил все эти числа в виде двух рядов: верхний — от 1 до 50, нижний — от 51 до 100, причём в нижнем ряду числа шли в обратном порядке, вот так:

Гаусс заметил, что сумма чисел в каждом из пятидесяти столбцов одинаковая — 101, значит, чтобы получить искомый результат, нужно всего лишь умножить 101 на 50. Так у него и получилось 5050.

Собственно, благодаря такой вот способности — не быстро считать в уме, но заставлять числа плясать под свою дудку — Гаусс и стал одним из величайших математиков XIX столетия.

Магия геометрии

Большинство доказательств теоремы Пифагора основываются на перестановке частей одной геометрической фигуры с целью получения другой с той же площадью. Но смотрите, какой обнаруживается парадокс. Возьмём квадрат 8 на 8. Его, пожалуй, вполне можно разделить на четыре части, как на рисунке чуть ниже: длина одной стороны каждой части должна равняться 3, 5 или 8 (да-да, одному из чисел Фибоначчи!). Перегруппируем эти части так, чтобы получился прямоугольник 5 на 13 (обязательно попробуйте сделать это сами!). Но ведь площадь начальной фигуры равна 8 × 8 = 64, а конечной — 5 × 13 = 65! Как это возможно?

Разгадка этого парадокса заключается в том, что прямая линия, являющаяся «диагональю» прямоугольника 5 на 13, на самом деле не такая уж и прямая. Смотрите сами: треугольник, обозначенный буквой С, имеет гипотенузу с наклоном 3/8 = 0,375 (потому что значение её y-координаты увеличивается на 3, а значение x-координаты — на 8) при том, что верхняя грань фигуры (трапеции), обозначенной буквой D, имеет наклон 2/5 = 0,4 (потому что значение её y-координаты увеличивается на 2, а значение x-координаты — на 5). То же происходит и с нижними гранями трапеции и треугольника, находящихся в верхней части. Отрезки с разным наклоном никогда и ни за что не образуют прямую линию, а значит, если мы присмотримся к нашему прямоугольнику, то увидим небольшой зазор между двумя почти «прямыми» почти «диагоналями» (см. рисунок). И получается, что, будучи растянутой по всей площади, эта щель даёт нам лишнюю единицу общей площади.

Выступления Артура Бенджамина на TED: