Проблемы нового ФГОС по математике и как их решить

Стандарт образования часто подвергается критике со стороны учителей, на это есть ряд причин. Наш блогер, автор учебников математики Александр Шевкин, продолжает разбирать новый ФГОС и указывать на его слабые стороны.

Продолжаем разговор, начатый в предыдущем посте. Переходим к разбиению содержания обучения по годам обучения, которое нарушило столетнюю традицию.

1. Первый год обучения

Читаем внимательно: «Предметные результаты освоения первого года обучения учебного предмета». Что осваиваем? — Первый год! Кого обучаем? — Учебный предмет! Писатели читали своё творение? Как же надоел этот многословный до потери смысла канцелярит с потугами на научность и без реакции на полезные замечания!

Почему четыре первые арифметических действия с натуральными числами идут после пятого и после делимости? Почему сравнение натуральных чисел (и других чисел тоже) идёт после действий с ними, если при вычитании надо из большего натурального числа вычитать меньшее? Почему понятия числовое выражение, значение числового выражения отнесены в 6-й класс? Куда пропал порядок действий? Им самое место здесь. Почему нет общего понятия «степень числа с натуральным показателем»?

Мы читаем требования Стандарта, а не рецепты кулинарной книги, где порядок операций «посолить» или «поперчить», да и самих рецептов, не так важен (если не так — хозяйки меня поправят).

Ещё раз про «распределительный закон (свойство) умножения относительно сложения». В математике есть один «распределительный закон» — без добавлений: a*(b + c) = a*b + a*c. А «распределительный закон (свойство) умножения относительно вычитания», который ввели в учебники 50 лет назад, есть следствие распределительного закона. Школьникам полезно показать вывод этого следствия. Какая нужда в уточнении «относительно сложения», если нет «относительно вычитания»? Где требование о представлении натуральных чисел точками на координатном луче?

2. Дроби

Ещё раз вернусь к сравнению чисел. Так как для одного и того же положительного рационального числа возможны разные его записи в виде дроби, то при введении обыкновенных дробей надо сказать, какие дроби считаются равными, то есть ввести основное свойство дроби, приведение дробей к новому знаменателю, ввести сравнение дробей не только для дробей с одинаковыми знаменателями.

Здесь упоминается понятие «смешанное число», по-моему, «смешанная дробь» лучше. Давайте сравним две записи: ¾ = 0,75 и 11/4 = 2¾ = 2,75. В каждой из них слева и справа дроби, во второй — в середине число. За 50 лет обучения по учебнику Н. Я. Виленкина к этому привыкли. Вдумайтесь: есть натуральные числа, рассматриваем множество натуральных чисел, есть «смешанные числа», то не рассматриваем множество смешанных чисел. Смешанная дробь есть способ записи неправильных дробей, удобный для сравнения, сложения и вычитания.

Читайте также:

Когда ребёнок делает задания правильно, он не учится. Почему нам так важно ошибаться?

Требование «выполнять сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями» без сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, умножения и деления дробей удивительно — это требование формировать неполные умения в действиях с дробями, которые так и не станут полными, так как в 6-м классе нет требования выполнять сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, умножать и делить дроби. Поскольку изучение математики не чтение упомянутой кулинарной книги, то здесь нельзя выхватывать для изучения пару действий только потому, что они простые.

Десятичные дроби появляются как новые записи, они не связаны с обыкновенными дробями. Здесь записаны требования формировать неполные умения. Требование «выполнять сложение и вычитание десятичных дробей» без требования умножать и делить десятичные дроби, которого нет и в 6-м классе — это попытка «сделать детям хорошо»? Ни в 5-м классе, ни в 6-м классе ни один объект изучения не изучается полностью. Так может быть, надо изучить полностью обыкновенные дроби в пятом классе, а десятичные дроби и их взаимосвязь с обыкновенными дробями — в шестом?

Меня изумило последнее требование про деление с остатком, делимость, делитель, кратное, использование признаков делимости. Авторы Стандарта не догадываются, что это про натуральные числа? Почему это записано после дробей? Теперь вопросы: почему деление с остатком оторвано от деления без остатка? Разве ученик при делении 56 на 4 без остатка уголком, не получит в промежуточных вычислениях остаток 1?

Почему «деление с остатком» повторяется в 6-м классе и там есть «остаток от деления», а в 5-м классе остатка нет?

Почему простые и составные числа, связанные с понятиями делители и кратные (5-й класс), отнесены в 6-й класс? Почему признаки делимости есть, а свойства делимости, с помощью которых их можно обосновать, отсутствуют? Нас не интересует возможность создания условий для систематического, более полного, насколько позволяют возрастные особенности детей, изложения теоретической составляющей курса математики? В чём глубокий смысл такой нарезки изучаемого материала?

В школьной математике было принято изучать математические объекты систематически, это относится к натуральным и рациональным числам, информация о которых подаётся детям в виде винегрета и в пятом классе, и в шестом, да ещё и с недовложением компонентов! Авторы Стандарта боятся, что при правильном обучении в головах детей получаемые знания сложатся в понятную картину — панно, где каждое цветное стёклышко стоит на своём месте, а все вместе они создают понятную картину изучаемого материала? Они вместо такого панно хотят всучить детям разноцветные стёклышки?

Авторы Стандарта знают, почему после первых мест за начальную школу наши учащиеся за три года обучения скатываются до места в конце третьей десятки мирового рейтинга? Я скажу: их учат не по учебникам, а по поваренной книге, в которой много несистематизированных рецептов. Авторы Стандарта норовят вырвать из неё некоторые страницы с «трудными» рецептами! Усиливая бессистемность изучения математики в 5–6-м классах, мы только усугубляем положение.

3. Текстовые задачи

Приятно видеть влияние моих апрельских замечаний, стало лучше, но вопросы остались. В одном ряду с тремя взаимосвязанными величинами «цена, количество, стоимость» идут «данные бытовых приборов» — это не тройка взаимосвязанных величин, а указание на сюжет задачи. Если сюжеты так важны в Стандарте, то пишите их отдельно, только не забудьте про сосиски, колбасу, молоко, ботинки и многие другие предметы из нашей практической жизни, ради связи с которой здесь упомянуты электроэнергия, вода и газ. Естественно спросить, а почему не упомянуты квартплата, вывоз мусора и так далее? В программе 2015 года я нашёл единственное место, за которое хвалил её составителей. Там есть требование обучать школьников решать задачи арифметическими способами. В этом большой резерв повышения доступности математики и её связи с жизнью — результат каждого действия осмысливается и обосновывается применительно к тем предметам и величинам, о которых идёт речь в условии задачи. Это доступно для детей 5-6 классов, мышление которых предметно. Это резерв развития мышления и речи учащихся. В ОГЭ и ЕГЭ уже появились такие задачи.

Читайте также:

«Учителя математики — это элитный спецназ»: зачем молодой физик-ядерщик пошёл работать в школу

Раз уж ни в пятом классе, ни в шестом нет уравнений и их применения к решению текстовых задач, то в арифметических способах на два года обучения надо навести порядок. В 5-м классе надо упомянуть задачи на движение, на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, на дроби (те самые на нахождение части числа и числа по его части), на совместную работу. Последние требуют изучения всех действий с дробями.

4. Геометрия

Почему опять нет системы? Распознаём, изображаем, измеряем и вычисляем — понятно, но почему измеряем в двух отдельных пунктах? Отрезки изучаем и измеряем, даже двумя величинами через запятую: «измерение длин, расстояний» — это разные величины? Уж лучше писать «измерение расстояний (длин отрезков)». У ломаной не измеряем ни длину, ни расстояние между её концами. Угол изучаем, но не измеряем. Что мешает? Здесь же можно дать виды углов — зачем откладывать на год? В чём польза от такой мелкой нарезки объектов изучения? Здесь и круговые диаграммы уместны — их чтение и построение. Надо же что-то делать руками, чтобы знания откладывались в голове.

5. Второй год обучения — шестой класс

Спотыкаюсь на первом же понятии «множество» — не могу определить это неопределяемое понятие, как этого требует сноска, приведённая мною в скобках в самом начале материала за 5-й класс. Как быть с неопределяемыми понятиями? Будем их определять, согласно сноске? Ученик должен думать, что всё на свете можно определить? Не будет ли полезным для учащихся требование про классификацию элементов множества по какому-либо признаку? Этой мыслительной операции надо учить при любой возможности, чем раньше, тем лучше, тогда авторы следующего Стандарта будут лучше классифицировать объекты изучения.

Про деление с остатком, делимость, простые и составные числа сказано выше, только общепринятым является оборот «разложение составного числа на простые множители».

6. Как исправить ФГОС?

Учитывая плохие результаты действий с положительными и отрицательными числами, о чём мы постоянно слышим в отчётах по ОГЭ и ЕГЭ, не пора ли задуматься о причине таких результатов? Считаю целесообразным осваивать идею знака числа на целых числах, а потом переносить полученное умение на множество рациональных чисел (записанных дробями любого знака). Усвоение идеи знака числа при оперировании разными записями модулей чисел (целые числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби) не продуктивно. Ещё раз про требование «выполнять сравнение чисел с разными знаками». Проще «сравнивать», а почему только с разными знаками? Будем сравнивать –3 и 6, 3 и –7, а 4 и 5, –4 и –5 не будем? Первое требование можно переписать так:

Если действия с обыкновенными дробями полностью изучены в 5-м классе, идея знака числа изучена в 6-м классе на примере целых чисел, можем вводить все рациональные числа. Не надо всё валить в кучу. Давайте разберёмся с рациональными числами, не путаясь в двух формах их записи. Второе требование после переноса числовых выражений в 5-й класс можно написать так:

Десятичные дроби надо изучать как другую запись рациональных чисел, сначала положительных, потом отрицательных. Требование про десятичные дроби надо написать отдельно:

Касательно текстовых задач в Стандарте за 6-й класс наблюдаются повторы с 5-м классом, которые надо исключить, — их не комментирую. Новое в требованиях — только задачи на проценты, отношения, пропорции и задачи из области управления личными и семейными финансами. Требования по текстовым задачам можно описать так:

Требование про круговую диаграмму надо перенести в 5-й класс и изучать вместе с измерением углов и их классификацией. Среднее арифметическое тоже перенести в 5-й класс, в раздел «Положительные рациональные числа» (обыкновенные дроби). Требование про пространственные фигуры можно оставить без изменения, поставив перед ним «приближённо вычислять длину окружности и площадь круга» — это всегда было в конце 6-го класса. Убрать повторы с 5-м классом про измерение площадей фигур, площадей поверхностей и объёмов.

В требовании про распознавание на чертеже и в окружающем мире не стоит так сильно напирать на клетчатую бумагу. Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ — это святое, но совсем не главное. Бывает и нелинованная бумага. Надо бы требовать построения перпендикулярных и параллельных прямых при помощи инструментов (угольник и линейка) — дети должны работать руками. Впереди систематический курс планиметрии. Требования про координатную прямую и координатную плоскость не надо относить к геометрическому материалу, это практическое приложение изученных рациональных чисел, они перенесены вверх.

Читайте также:

Как кубик Рубика помогает выучить математику

Последнее: исторический материал выглядит очень бедно. Это требование я бы расширил, добавив в оба года обучения решение старинных задач из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого, русских математических рукописей, древних письменных источников (Вавилон, Египет, Китай, Индия), задач известных российских и зарубежных авторов: Л. Н. Толстой, С. А. Рачинский, А. П. Киселёв, Я. И. Перельман, Л. Эйлер, И. Ньютон, Д. Пойа и других. Изучение математики в культурно-историческом контексте даёт понимание математики, как части человеческой культуры, делает математику интересной и привлекательной для изучения, даёт лучшую связь изучаемого материала с жизнью, чем задачи про электрические счётчики.

Если Стандарт будет принят в предложенной редакции, то можно смело снижать прогноз на положение России до конца шестого десятка в мировом образовательном рейтинге.

Отмечу, что составители проекта Стандарта по математике отнеслись к заданию весьма халатно, как будто знали, что готовят документ не для работы, а для галочки — чтобы был. Они отмахнулись от многих дельных предложений апреля 2019-го, которые было легко принять, не нарушая канвы странно задуманного и плохо исполненного документа. Скорее всего, им не хватило профессиональных традиций, которые не возникают от выполнения разовых поручений, а рождаются в результате многолетней коллективной работы, обсуждений, споров специалистов, составляющих программы по математике для всей страны много лет подряд, контролирующих внедрение собственных разработок, сопоставляющих результаты обучения по экспериментальным учебникам, — эту работу сейчас выполнять некому.

Образовательный Стандарт, который мы имеем в проекте, не вина, а скорее беда его авторов, загнанных в прокрустово ложе негодной идеи, результат их профессиональной жизни вне «кузницы кадров», делающих программы для всей страны. Десятилетия образовательных «реформ» сделали своё дело. Нет нашей лаборатории в прежнем её качестве. Некому по долгу службы заниматься работой, которую теперь разложили на всех учителей страны.

Некому выводить образование страны из пустыни образовательных «реформ». Зато полно желающих сделать Стандарт «на коленке» — какой прикажут

Стандарты и программы не заказывают по конкурсу тем, кто согласен на меньшую оплату труда, тем, кто лучше известен заказчику. Это должна быть работа на долговременной основе. Тогда учителя не будут ежегодно заниматься не свойственной им работой, уменьшится перегрузка, про которую говорят уже много лет. Развал НИИ СиМО АПН СССР, пренебрежение государства педагогической наукой привели нас туда, где мы находимся. Стоит ли теперь удивляться получаемым в образовании результатам?

Фото: Shutterstock (vm2002)