12 задач Якова Перельмана, которые взбодрят ваш задремавший разум

Помните задачки со спичками, которые нужно перекладывать? Большинство из них придумал Яков Перельман — мастер головоломок, фокусов и задач по математике, физике и астрономии. Приготовили для вас еще 12 таких. Будет сложно и интересно.

1. До половины

Бочка заполнена водой примерно наполовину. Но вы хотите узнать, точно ли до половины в ней налито воды. У вас нет ни палки, ни какого-либо другого инструмента для замера содержимого бочки. Втулки бочка не имеет. Как узнать, ровно ли наполовину заполнена бочка?

2. Цена переплета

Книга в переплете стоит 2 рубля 50 копеек. Книга на 2 рубля дороже переплета. Сколько стоит переплет?

3. Головы и ноги

На лугу паслись лошади под присмотром пастухов. Если бы вы пожелали узнать, сколько всех ног на лугу, то насчитали бы 82 ноги. А если бы пересчитали головы, то оказалось бы, что всех голов — лошадиных и человеческих — 26. Сколько на лугу лошадей и сколько пастухов? Надо заметить, что ни безногих лошадей, ни калек-пастухов на лугу не было.

4. Редкая монета

Собирателю редкостей сообщили, что в Риме при раскопках найдена монета с надписью по-латыни: «53 год до P. X.»

— Монета, конечно, поддельная, — ответил собиратель.

Как он узнал это, не видя ни самой монеты, ни даже ее изображения?

5. Столяр и плотники

Шесть плотников и столяр нанялись на работу. Плотники заработали по 20 рублей, столяр же — на 3 рубля больше, чем заработал в среднем каждый из семерых. Сколько заработал столяр?

6. Под водой

На обыкновенных весах лежат: на одной чашке — булыжник, весящий ровно 2 кг, на другой — железная гиря в 2 кг. Я осторожно опустил весы под воду. Остались ли чашки в равновесии?

7. Девятьсот поклонов

В одной школе обучалось вдвое больше девочек, чем мальчиков. Заведующий ввел обычай: ежедневно поутру каждый мальчик должен был делать поклон заведующему, каждому из своих товарищей-мальчиков и каждой девочке, каждая девочка также должна была делать поклон заведующему, каждой своей подруге и каждому мальчику. Этот церемонный обычай строго соблюдался, и поэтому ежедневно утром можно было насчитать 900 поклонов. Сколько было в школе мальчиков и девочек?

8. Число сапог

Сколько штук сапог необходимо заготовить для городка, третья часть обитателей которого одноногие, а половина остальных предпочитает ходить босиком?

9. Зарплата

Мой заработок за последний месяц вместе со сверхурочными составляет 250 рублей. Основная плата на 200 рублей больше, чем сверхурочные. Как велика моя зарплата без сверхурочных?

10. Число граней

Вот вопрос, который, без сомнения, покажется многим слишком наивным или, напротив, чересчур хитроумным. Сколько граней у шестигранного карандаша?

11. Сахар

Что тяжелее: стакан сахарного песка или такой же стакан колотого сахара?

12. Плащ, шляпа и галоши

Некто купил плащ, шляпу и галоши и заплатил за всё 140 рублей. Плащ стоит на 90 рублей больше, чем шляпа, а шляпа и плащ вместе — на 120 рублей больше, чем галоши. Сколько стоит каждая вещь в отдельности? Задачу требуется решить устным счетом, без уравнений.

Ответы

1. Самый простой способ — наклонить бочку так, чтобы вода дошла до края. Если при этом дно бочки немного обнажится, значит, вода стояла ниже половины. Если дно окажется ниже уровня воды, значит, воды было налито больше, чем до половины. И наконец, если верхний край дна будет как раз на уровне — бочка заполнена водой ровно наполовину.
2. Обычно, не подумав, отвечают: «Переплет стоит 50 копеек». Но ведь тогда книга стоила бы 2 рубля, т. е. была всего на 1 рубль 50 копеек дороже переплета! Верный ответ такой: цена переплета — 25 копеек, цена книги — 2 рубля 25 копеек.
3. Если бы все 26 голов на лугу были человеческие, мы насчитали бы не 82 ноги, а только 52, т. е. на 30 ног меньше. От замены одного человека лошадью число всех ног увеличилось бы на 2. Значит, чтобы насчитать 82 ноги, надо произвести подобную замену 15 раз, тогда и найдутся недостающие 30 ног. Итак, из 26 голов 15 принадлежало лошадям, а остальные 11 — людям.
4. Разве римляне, чеканя монету до P. X., могли знать, что через 53 года родится Христос?
5. Легко узнать, каков был средний заработок семерых плотников. Для этого нужно избыточные 3 рубля разделить поровну между 6 плотниками и к 20 рублям каждого прибавить полученные 50 копеек. Вычислили средний заработок плотника. Отсюда узнаем, что столяр заработал 20 рублей 50 копеек + 3 рубля, т. е. 23 рубля 50 копеек.
6. Каждое тело, если погрузить его в воду, становится легче: оно «теряет» в своем весе столько, сколько весит вытесненная им вода. Зная этот закон (открытый Архимедом), мы без труда можем ответить на вопрос задачи. Булыжник весом в 2 кг занимает больший объем, чем 2-килограммовая железная гиря, потому что материал камня — гранит — легче железа. Значит, булыжник вытеснит больший объем воды, нежели гиря, и по закону Архимеда потеряет в воде больше веса, чем гиря. Следовательно, весы под водой наклонятся в сторону гири.
7. Итак, мы знаем, что 900 — это число детей, умноженное само на себя. Какое же число, умноженное на себя, составит 900? Очевидно, 30. А так как девочек было вдвое больше, чем мальчиков, то из 30 детей было 20 девочек и 10 мальчиков. Проверим это. Девочки делают 19 × 20 = 380 поклонов подругам и 20 × 10 = 200 поклонов мальчикам. Мальчики мальчикам делают 9 × 10 = 90 и девочкам — 10 × 20 = 200 поклонов. Итого: 380 + 200 + 90 + 200 = 870 поклонов. Присоединив еще 30 поклонов заведующему, имеем ровно 900.
8. Так как число жителей городка неизвестно, то ответ на вопрос этой полушуточной головоломки возможен лишь в такой форме, достаточно, впрочем, определенной: «Требуется столько штук сапог, сколько в городке жителей».
9. Многие, не подумав, отвечают: 200 рублей. Это неверно: ведь тогда основная зарплата будет больше сверхурочных только на 150 рублей, а не на 200. Задачу нужно решать так. Мы знаем, что если к сверхурочным прибавить 200 рублей, то получим основную зарплату. Поэтому если к 250 рублям прибавим 200 рублей, то у нас должны составиться две основные зарплаты. Но 250 + 200 = 450. Значит, двойная основная зарплата составляет 450. Отсюда одна зарплата без сверхурочных равна 225 рублей, сверхурочные же составят остальное от 250 рублей, т. е. 25 рублей. Проверим: зарплата, 225 рублей, больше сверхурочных, т. е. 25 рублей, на 200 рублей, как и требует условие задачи.
10. Задача вовсе не шуточная и вскрывает ошибочность обычного словоупотребления. У шестигранного карандаша не 6 граней, как, вероятно, полагает большинство. Всех граней у него, если он не очинен, 8: шесть боковых и еще две маленькие «торцовые» грани. Будь у него в действительности 6 граней, он имел бы совсем иную форму — бруска с четырехугольным сечением. Привычка считать у призм только боковые грани, забывая об основаниях, очень распространена. Многие говорят: трехгранная призма, четырехгранная призма и т. д., между тем как призмы эти надо называть: треугольная, четырехугольная и т. д. — по форме основания. Трехгранной призмы, т. е. призмы о трех гранях, даже и не существует. Поэтому карандаш, о котором говорится в задаче, правильно называть не шестигранным, а шестиугольным.
11. При некотором усилии воображения задача эта, кажущаяся очень замысловатой, решается довольно просто. Предположим для простоты, что куски колотого сахара в поперечнике больше частичек песка в 100 раз. Представим себе теперь, что все частицы песка увеличились в поперечнике в 100 раз вместе со стаканом, в который песок насыпан. Вместимость стакана увеличится в 100×100×100, т. е. в миллион раз; во столько же раз увеличится и вес содержащегося в нем сахара. Отсыплем мысленно один нормальный стакан этого укрупненного песка, т. е. миллионную часть содержимого стакана-гиганта. Отсыпанное количество будет, конечно, весить столько, сколько весит обыкновенный стакан обыкновенного песка. Что же, однако, представляет собой отсыпанный нами укрупненный песок? Не что иное, как колотый сахар. Значит, колотого сахара в стакане заключается по весу столько же, сколько и песка. Если бы вместо стократного увеличения мы взяли шестидесятикратное или какое-нибудь другое — дело нисколько не изменилось бы. Суть рассуждения лишь в том, что куски колотого сахара рассматриваются как тела, геометрически подобные частицам сахарного песка и притом расположенные подобным же образом. Допущение этого, конечно, не строго верно, но оно достаточно близко к действительности.
12. Если бы вместо плаща, шляпы и галош куплено было только две пары галош, то пришлось бы заплатить не 140 рублей, а на столько меньше, на сколько галоши дешевле плаща со шляпой, т. е. — на 120 рублей. Мы узнаем, следовательно, что две пары галош стоят 140–120 = 20 рублей, отсюда стоимость одной пары — 10 рублей. Теперь стало известно, что плащ и шляпа вместе стоят 140 — 10 = 130 рублей, причем плащ дороже шляпы на 90 рублей. Рассуждаем, как прежде: вместо плаща со шляпой купим две шляпы. Мы заплатим не 130 рублей, а меньше на 90 рублей. Значит, две шляпы стоят 130 — 90 = 40 рублей, откуда стоимость одной шляпы — 20 рублей. Итак, вот стоимость вещей: галоши — 10 рублей, шляпа — 20 рублей, плащ — 110 рублей.

Фото: Zamurovic Brothers / Shutterstock / Fotodom