Арифметика в Третьяковке
Блоги18.07.2019

Арифметика в Третьяковке

Какую задачу решают дети на картине Богданова-Бельского «Устный счёт»?

В Москве, в Государственной Третьяковской галерее, есть замечательная картина «Устный счёт» известного художника Николая Петровича Богданова-Бельского (мы рассказывали о нём в этом номере журнала).

Н.П. Богданов-Бельский (1868–1945). «Устный счёт»

Написана эта картина в 1895 году, а запечатлён на ней знаменитый народный учитель, популяризатор науки, профессор Московского университета Сергей Александрович Рачинский со своими учениками. В 70-х годах XIX века Рачинский неожиданно бросил карьеру, жильё в Москве и приличное профессорское жалование — и уехал в село Татево в Тверской области, где до самой смерти преподавал крестьянским детям математику и другие предметы в народной школе. Художник Богданов-Бельский, кстати, был одним из учеников Сергея Александровича.

Внимательно рассмотрев интерьер школы, костюмы учителя и детей, обратим внимание на доску. На доске написана следующая арифметическая задача:

Попробуйте в наш прогрессивный, продвинутый и высокотехнологичный XXI век сделать то же самое, что делали крестьянские дети 10-12 лет в конце позапрошлого века — то есть решить эту задачу «в уме», не заглядывая в Интернет, не включая калькулятор и не используя бумаги и карандаша. Интересно, что у вас получится?

Решить эту задачу можно несколькими способами. Можно через таблицу квадратов, можно через формулу квадрата суммы. Нам нравится красивое решение через арифметическую прогрессию: известно, что квадраты чисел 10, 11, 12, 13 и 14 отличаются друг от друга на числа, образующие прогрессию с разностью 2 — то есть 21, 23, 25 и 27. Поэтому:

Ну а дальше делим 730 на 365 и получаем в ответе 2. Однако самое простое решение — через так называемые «последовательности Рачинского». Это красивое арифметическое открытие Сергей Александрович совершил самостоятельно и широко использовал для составления таких вот хитрых задач. Оказывается, что:

И так далее. В частности, сумма во второй строке равна 365. Тогда в задаче на картине на доске сверху в дроби, по сути, записано 365 + 365, а делим мы это всё на 365 — то есть в ответе получаем 2 (не оценку «2», а число 2) буквально за считанные секунды!

Что такое архетип, интеграл, аналемма, параллакс и теория хаоса? Почему наша галактика плоская? Можно ли измерить добро и зло? Рассказывает журнал «Лучик». Полистать номера журнала можно здесь.

Комментарии(1)
Что-то как-то сложно объясняете. Ваши выкладки в уме сделать сложно. Надо через квадраты сумм решать. Обращаем внимание, что пары чисел 10 и 14, 11 и 13 симметричны относительно 12. Превая пара удалена на 2, вторая на 1. То есть 10^2 = (12-2)^2, а 14^2 = (12+2)^2. Аналогично 11^2 = (12-1)^2, а 13^2 = (12+1)^2. Квадраты сумм раскладываем, получаются квадраты первых чисел, квадраты вторых чисел и удвоенные произведения первого на второе. Для первого числа из пары средний член идёт с минусом, а для второго — с плюсом, и они дают в сумме ноль, поэтому остаются только квадраты. Итого у нас в итоге остаётся 5 раз по 12^2=144, и по два раза 1^2=1 и 2^2=4. Итого 5*144 + 2 + 8 = 500 + 200 + 20 + 10 = 730. И вот теперь уже 730 делим на 365 и получаем 2.
Больше статей