Лев Толстой — не только великий русский писатель, но и автор новаторской методики обучения математике. Педагог, автор телеграм-канала «Математика на бегу», руководитель квестов проекта «Математические тропинки» Дарья Шаинская объясняет, почему педагогические идеи писателя не были приняты современниками, а сегодня звучат более чем актуально.

Не спеша

Программа обучения арифметике, которую разработал Толстой, была рассчитана на три учебных года. Она включала в себя изучение четырех арифметических действий с натуральными числами (в том числе с многозначными), изучение десятичных и обыкновенных дробей и действий с ними и решение текстовых задач (иногда очень непростых). Этот набор умений в современной школе дети получают, окончив 6-й класс. При этом учебный год в сельской школе длился в среднем 5–6 месяцев, ведь во время посева и сбора урожая ученики Толстого были вынуждены работать наравне со взрослыми.

Но несмотря на насыщенность программы, Лев Николаевич в своем учебнике не раз упоминает о том, как важно не спешить объяснять. Выступая против заучивания и зазубривания наизусть, он старался дать ученикам время осмыслить материал, пропустить его сквозь себя, связать с личным опытом и представлениями. На это часто требуется время. Толстой признавал, что бессмысленно многократно объяснять то, что остается непонятным для ребенка. Иногда достаточно просто отложить задачу, чтобы через несколько дней или недель она наконец обрела для ученика смысл. Полувеком позже швейцарский психолог Жан Пиаже в своих исследованиях придет к аналогичным выводам.

Изучаем не числа, а действия

В 1860-е годы огромным успехом в России пользовалась методика немецкого педагога Августа Вильгельма Грубе. В противовес существующим на тот момент теориям он предлагал построить обучение арифметике не на освоении действий, а на изучении натуральных чисел. Грубе называл этот процесс «Созерцание чисел». Обучение в школе строилось на последовательном исследовании каждого числа первой сотни. Дети изучали свойства конкретных чисел, не воспринимая арифметические действия как абстрактные операции.

Например, так выглядели вопросы учителя на уроке, посвященном числу 6:

• Сколько нужно прибавить к 5, чтобы получить 6? А к 4? А к 3?
• Сколько единиц содержит число 6? А сколько двоек? Троек?
• На сколько число 6 больше 4? А 3? А 2?
• Чему равна половина числа 6? А треть?

На следующем уроке аналогично разбиралось число 7. А на следующем — 8. И так урок за уроком, на протяжении нескольких лет. Такой способ изучения арифметики имел широкое распространение, его последователем в России был педагог В. А. Евтушевский.

Лев Николаевич Толстой неоднократно выступал с резкой критикой этой методики: «Они пишут арифметику либо для себя одних, либо для воображаемых детей, воспитанных с детства вне всяких представлений числа».

Методика же Льва Николаевича, наоборот, опиралась не на изучение чисел, а на изучение действий с ними. При этом ученики, научившись выполнять вычисления с небольшими числами в уме или с помощью счетов, достаточно быстро переходили к многозначным числам. Толстой знал, что дети приходят в школу, уже имея базовые представления о числах и естественное понимание арифметических действий. Очень часто, игнорируя строгие математические термины, он формулировал правила, используя интуитивно понятные его ученикам слова: «1404 — 565. Скидывай сотни из сотен. Недостанет, разложи одну тысячу на сотни и запиши так: 14 сотен 4 — 5 сотен 65».

Толстой стремился к тому, чтобы в изучении арифметики не было ничего искусственного, чтобы задачи, решаемые на уроке, дополняли и обогащали опыт учеников вне стен школы.

Долой правила и определения

За отсутствие строгости и четко сформулированных правил Льва Николаевича рьяно критиковали коллеги-педагоги. Толстой верил: ребенок должен выявлять математические закономерности сам, на основе личного опыта и после многократных упражнений. Этот подход во многом созвучен современным теориям развивающего обучения.

Даже перед тем, как показать ученикам простые приемы сложения и вычитания в столбик, Толстой много времени тренирует их выполнять действия, начиная со старшего разряда, письменно и устно.

Лев Николаевич был категорически против заучивания наизусть чего бы то ни было в математике, включая таблицу умножения. Он учил детей умножать, последовательно увеличивая числа вдвое, а затем, если нужно, отнимая исходное число. Таким образом они получали опыт умножения, а результаты действий постепенно запоминались без специальных усилий.

Объясняя сложение и вычитание обыкновенных дробей (в школе Толстого это был материал третьего года обучения), он никогда не показывал строгий алгоритм нахождения общего знаменателя дробей, позволяя ученикам каждый раз искать его самостоятельно, пользуясь подбором и уже накопленными знаниями о свойствах чисел. Толстой верил, что, накопив опыт, ребенок сам может прийти к идее, что общим знаменателем, например, может быть просто произведение двух знаменателей.

Во главе всего стоит система счисления

В отличие от других учебных программ конца XIX века и даже от современных учебников, Толстой уделял огромное внимание понятию системы счисления. Его ученики записывали числа не только привычными арабскими цифрами, но и римскими, и славянскими (в качестве цифр в этой системе использовались буквы древнерусского алфавита).

Кроме того, с самых первых уроков они уже тренировались в откладывании чисел на русских счетах. Во втором томе «Арифметики» Толстого отдельная глава посвящена позиционным системам счисления с разным основанием — привычной десятичной, двоичной, троичной и другим.

Он учил детей записывать числа в разных системах счисления и выполнять с ними все арифметические действия

На помощь ему снова приходили счеты: например, снимая лишние костяшки и оставляя только по одной на каждой спице, он получал инструмент для счета в двоичной системе счисления. Более того, счеты (на уроках и на иллюстрациях в учебнике) он располагал не вертикально, а горизонтально.

Получалось, что старшие разряды числа стояли левее младших, как это и происходит при записи чисел. Только приступая к изучению арифметики, Толстой предлагал ученикам произносить числа не совсем привычным образом: не сорок, а 4 десятка, не сто тринадцать, а 1 сотня, 1 десяток и 3 простых (3 единицы). Это позволяло ученикам видеть разряды числа и глубже понимать устройство десятичной системы счисления. Такой подход позволял легко переходить к изучению десятичных дробей. Десятые, сотые и тысячные сразу воспринимались учениками аналогично, как разряды меньше единиц.

Текст задач должен быть понятен

Текстовые задачи, которые Толстой предлагает в своей «Арифметике», можно смело назвать выдающимися. Во-первых, их содержание отражает те бытовые ситуации, с которыми его ученики уже сталкивались или должны были столкнуться во взрослой жизни. Во-вторых, все предлагаемые в учебнике задачи достаточно сложные. К ним даются образцы рассуждений, которые позволяют ученику понять логику решения.

Он намеренно не включал в задачник элементарные задачи, содержание которых надуманно, а искусственная простота вводит детей в ступор. Но задач в учебнике немного — это только примерный список. Толстой предполагал, что каждый учитель сможет самостоятельно составить большое количество аналогичных задач. Начинать следовало с задач с небольшими числами, которые ученик мог бы выполнить в уме, а потом для самостоятельных упражнений постепенно давать такие, которые требуют письменных вычислений. Кроме того, Толстой предлагает, изучая тот или иной тип задач, менять местами известное и искомое.

Каждая задача Толстого — это текст, искусный и выверенный как с точки зрения методики, так и с точки зрения языка.

«Арифметика» Льва Николаевича Толстого не получила признания при его жизни. Но мы, сами того не ведая, приходим к тем же идеям, которые уже были высказаны им 150 лет назад. Честно было бы после всего вышесказанного причислять Льва Николаевича к чистым гуманитариям? Или утверждать, что он, оказывается, вовсе не гуманитарий, а человек с выраженными математическими способностями? Нет.

Правда в том, что базовое понимание арифметики обусловлено не нашей предрасположенностью к этому предмету, а нашим жизненным опытом. Математика окружает нас повсюду. Но очень важно видеть в повседневных ситуациях не набор отдельных чисел, а алгоритмы и действия, математические законы, которые мы понимаем и чувствуем, даже если не можем строго сформулировать. Толстой, зная и пропагандируя эти истины, не забывал еще об одном, не менее важном компоненте успешных занятий математикой. Давайте и мы не забывать о том, что «для того, чтобы ученик хорошо учился, нужно, чтобы он учился охотно».