В марте этого года «Мел» и матфак ВШЭ проводили конкурс на лучшую математическую статью. Мы были горды и рады, что в конкурсе приняли участие и школьники. Несколько их лучших текстов, не ставших победителями, мы рекомендовали к публикации. Среди них — текст Тимофея Кира, шестиклассника из Оренбургской области.

«Они такие дремучие, непроходимые, что запросто можно дров наломать»

Они такие огромные и страшные, что, глядя на них, можно свернуть себе шею. Они такие дремучие, непроходимые, что запросто можно дров наломать. И эти еще, с длинными хвостами, самые непонятные, потому что бесконечные. Зачем мне это? Что я делаю среди них? Ведь знаю точно, что никогда я их в жизни не встречу. Это не для меня!

Наверное, почти у каждого возникали такие мысли при виде школьной доски, исписанной сложными математическими формулами и уравнениями. Если вы гуманитарий, увлекаетесь искусством, да просто самый обычный человек, можно ли вам обойтись без математики?

Если словосочетание «иррациональное число» вызывает у вас страх, стоит ли поддаваться панике? Ответ может быть только один: решительно стоит. Нигде, кроме школы, математику вы больше не встретите. Разве что только в магазине, чтобы сдачу проверить. Вот в торговле да, там без математики никак.

Леонардо Пизанский, он же Фибоначчи

Точно так же, наверное, думал когда-то один итальянский купец, отправляя своего сына в Алжир, чтобы он освоил торговую науку и счетоводство. Однако, кроме арифметики, его сын Леонардо узнал там такие тайны, которые были известны очень немногим. Когда в 1200 году Леонардо вернулся в Пизанскую республику, он опубликовал «Liber abaci», свою знаменитую книгу счетовода. Потому что «абак» — это древние счеты и книга была адресована торговцам.

Скоро о Леонардо Пизанском (впоследствии названном Фибоначчи) заговорила вся Италия. Фридрих II, император Священной Римской империи, пригласил его к себе на службу. Обычный купеческий сын впервые открыто поведал миру секрет, тщательно хранимый древними восточными мудрецами. Леонардо рассказал не только то, чему сам научился, но во многом развил и дополнил эти познания. Кратко перечислим содержание этих глав, чтобы был понятен масштаб совершенных им открытий.

В первых пяти главах он знакомит читателя с арабскими цифрами, более удобными, чем римские. И вводит индийскую позиционную систему счисления. Ту самую, десятичную, которой пользуемся мы сейчас. В шестой и седьмой главе Леонардо учит торговцев работать с дробями. В восьмой, девятой и десятой главах даются понятия о пропорциях. В одиннадцатой и двенадцатой рассказывается о прогрессиях, арифметической и геометрической. В тринадцатой главе показаны решения линейных уравнений. В четырнадцатой читатель узнает о квадратном и кубическом корне. А в последней, пятнадцатой, главе приводятся примеры квадратных уравнений.

Также от Леонардо впервые в Европе узнали такие понятия, как «отрицательное число», «наибольший общий делитель», «наименьшее общее кратное». Его задачи и способы их решения помогли не только торговцам. Его научный труд совершил скачок во всей средневековой науке.

Но зачем людям, далеким от математики, знать подробно о Леонардо Фибоначчи?

Наверное, затем, что ему удалось нащупать мостик между естественными науками и гуманитарными, между царством чисел и миром искусства. И вот как раз двенадцатая глава интересна тем, что здесь впервые говорится про необычный числовой ряд, который позже будет назван как «числа Фибоначчи». Вот они:

Особенностью данной числовой последовательности является то, что в ней каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Но это еще не все. Есть еще ряд интересных математических свойств:

• Каждое третье число — четное;
• Каждое четвертое кратно трем;
• Каждое пятнадцатое оканчивается нулем.

Но самый главный и завораживающий секрет кроется в том, что если любое число Фибоначчи разделить на предыдущее, то получится дробь, все точнее и точнее приближающая удивительное иррациональное число. Этому предельному числу, примерно равному 1, 618, дали название «число Фи» в честь древнегреческого скульптора Фидия, чьи изящные скульптуры до сих пор считаются эталоном красоты.

В 1509 году монах Лука Пачоли в книге «Божественная пропорция» дал научное и духовное толкование числа Фи: «Идеальное соотношение величин, где большая часть относится к меньшей, как вся величина к большей части». Божественное триединство: малый отрезок — это Бог Сын, большой — это Бог Отец, а всё целое есть Святой Дух. Существует мнение, что рисунки к его книге выполнены его другом Леонардо да Винчи.

В 1835 году про данную пропорцию (1 к Фи) немецкий математик Мартин Ом написал так: Sectio aurea — «золотое сечение», которое в процентном отношении можно приблизительно представить как 62% и 38%. И вот удивительный секрет заключается как раз в том, что всё красивое, правильное, гармоничное в жизни в своих пропорциях скрывает число Фи.

Хоппер, Брейгель и «золотое сечение»

Попробуем доказать постоянное присутствие математики в нашей жизни на примере изобразительного искусства. Вооружившись линейкой, измерим стороны каждого полотна и разделим их в соотношении 62% и 38%, а потом, уже в пространстве самой картины, найдем точки пересечения линий, проведенных от концов полученных отрезков. И сразу же нас ждут удивительные открытия. Осознанно или нет, но художник помещал в эти точки образ, который придавал произведению особый акцент, идею, которая переворачивала привычное восприятие.

Эдвард Хоппер, «Комната в Бруклине»

«Мечтатель без иллюзий», «поэт пустых пространств» — так писали про этого художника. И действительно, когда смотришь на эту картину, возникает чувство духоты и замкнутости, несмотря на то что огромное окно открывает вид на крыши Нью-Йорка. В чём дело?

Возможно, здесь нам поможет математика. С какой бы стороны картины мы ни отмеряли пропорции «золотого сечения», всюду точка пересечения выпадает на широкую раму окна. Взгляд словно упирается в массивное безжизненное дерево. Совпадение? Возможно. Обратимся к другой картине.

Питер Брейгель Старший, «Притча о слепых»

Самая интересная для изучения картина. Критики считают ее духовным завещанием художника, горьким предостережением человечеству. Она основана на притче: «Если слепой ведет слепого, то оба упадут в яму». И согласно этому сюжету, по склону холма, держась друг за друга, бредут слепые.

Композиция строится по четкой диагонали, с левого верхнего угла в правый нижний

Если взять всю диагональ и разделить ее на 14 одинаковых отрезков, мы получим интересное наблюдение. Сверху вниз плотной группой идут четверо слепцов. Расстояние между ними примерно равное — это восемь отрезков по диагонали. Далее, через большой промежуток, изображены ещё двое слепцов. Они уже падают в яму.

Так вот, этот большой интервал критики называют разрывом ритма, он занимает один отрезок на диагонали, а двое падающих персонажей умещаются ровно на пяти оставшихся отрезках. Помните «числа Фибоначчи»? Кроме того, если провести по нашей методике координатные линии в пропорциях 62% и 38%, то в разрыве как раз и окажется точка «золотого сечения», и изображена в ней церковь, что виднеется вдали. Она, по мнению художника, и должна спасти тех слепцов, что еще не упали.

Конечно же, художники создавали шедевры не с линейкой в руках, а при помощи воображения и своей интуиции. Но вот умение увидеть, предвидеть и почувствовать скрытые строгие взаимосвязи можно назвать математическим выражением таланта художника. И, наверное, не случайно, что в этих взаимосвязях всегда присутствуют иррациональные числа. Человечеству дается не какой-то определенный штамп, секрет успеха, а неограниченное пространство для творчества.

Тургенев и квазифрактал человеческих лёгких

Один из самых красивых «охотничьих» рассказов Тургенева «Бежин луг», несмотря на его мрачную атмосферу сельских страшилок, имеет особую поэтичность и запоминающийся ритм. Если взять весь объем этого произведения за 100%, то первая поворотная точка (38%) выпадает на тот момент, когда герой, попавший к мальчикам у костра, притворяется уснувшим. И вот тогда мальчишки возобновляют свой прерванный разговор про домового и прочую нечисть, пугая друг друга. Вторая поворотная точка (62%) наступает тогда, когда в разговоре всплывает «поверье о Тришке», крестьянское сказание об Антихристе.

Кроме того, каждая из получившихся трех частей рассказа также делится на три части с такими же пропорциями (точка А — 38%, точка В — 62% от объема отрывка). В первой части точка А — герой понял, что заблудился. Точка В — герой пришел на Бежин луг.

В средней части точка А — это когда в рассказе Кости Гаврила-плотник перекрестился, и русалка исчезла. Точка В наступает тогда, когда в рассказе Илюши баран посмотрел пристально и неожиданно сказал: «Бяша, бяша!» — а после этого резко подскочили и залаяли собаки мальчиков, словно учуяв что-то нечистое.

В третьей части точка А разрывает мрачную обстановку небольшим лирическим отступлением: дети долго завороженно смотрят на ночное небо: «Божьи звездочки, — что пчелки роятся!» Точка В в последнем отрывке выпала на пророчество Павла («Своей судьбы не минуешь»), после того как он рассказал ребятам, что его звал водяной.

Этот рассказ служит отличной иллюстрацией математического понятия самоподобия, когда форма объекта точно или приближенно совпадает с частью себя самого.

Математическая идея самоподобия внушена окружающей нас природой

Даже если вы скроетесь на далеком тропическом необитаемом острове, то, прогуливаясь по берегу моря, будете огибать гигантский квазифрактал, форма которого почти повторится через некоторое время. А вдыхая полной грудью свежий морской воздух, вы наполняете им другой квазифрактал, который образуют ваши легкие. Или, скажем, любуясь красивым закатом, вы, возможно, наблюдаете самоподобную структуру в звездной короне Солнца.

Поддаваться панике при виде сложных математических формул — реакция естественная, так как нас пугает все новое и непонятное. Страх исчезнет не тогда, когда мы выучим эти формулы, а когда поймем их логику и увидим их красоту. Математика кажется наукой отвлеченной просто потому, что она лежит глубоко в основе всего, как плиты в фундаменте красивого и величественного здания.