В марте 2021 года были подведены итоги конкурса на лучшую популяризационную статью о математике, который «Мел» проводил совместно с матфаком ВШЭ. Мы продолжаем публиковать тексты, которые заняли первые места в каждой из четырех номинаций. Сегодня профессор Канзасского университета Наталия Рожковская рассказывает о том, как снова полюбить устный счет и научить этой любви ребенка.

Числа 17 и 19 — «неулыбчивые интроверты»

Давайте поговорим об арифметике. Сложно представить себе современного человека, который затруднился бы перемножить в уме 100 на 4. Однако в ответ на просьбу умножить 16 на 25 многие из нас потянутся за калькулятором, хотя этот пример лишь чуточку сложнее первого:

16 × 25 = 4 × 4 × 25 = 4 × 100 = 400.

Возможно, вы скажете: «Да, конечно, в школе учат многим трюкам устного счета, но разве их все упомнишь!» Действительно, запоминание конкретных формул не является главной составляющей математического знания. Более того, часто, несмотря на сотни прилежно прорешанных в школе примеров, на практике приобретенные навыки почему-то не вспоминаются.

Иногда причина заключается в том, что мы не дружим с числами по-настоящему. Для многих из нас все числа — на одно лицо, однообразные цифровые абстракции. Но это совершенно не так! Числа, как и люди, обладают индивидуальностью и характером. Между числами существует система взаимоотношений, и даже можно утверждать, что числа наделены симпатиями и антипатиями друг к другу.

Судите сами. Приглядимся к числам-соседям

16, 17, 18, 19, 20.

Эти стоят рядышком в строю натуральных чисел, но характеры у них совершенно разные:

• Число 16 обладает единственным простым делителем 2, но зато гордо осознает свой важный статус одновременно и полного квадрата, и степени двойки: 16 = 4^2 = 2^4.
• Числа 17 и 19 — простые, без нетривиальных делителей. Они не столь «популярны», как простые числа 3, 5, 11, или даже 13. Поэтому 17 и 19 — этакие «неулыбчивые интроверты», встреча с ними в школьном примере вызывает некоторое чувство беспокойства.
• А вот число 18 — наоборот, очень «общительное», у него есть несколько приятных делителей: 2, 3, 6, 9.
• Число 20 — круглое, кончается на ноль, из-за чего к нему относятся даже с некоторым снисхождением, ведь совсем не сложно выполнять арифметические операции с двадцаткой. Число 16 обладает единственным простым делителем 2, но зато гордо осознает свой важный статус одновременно и полного квадрата, и степени двойки: 16 = 42 = 24.

Чем же такое неформальное отношение к числам может помочь при вычислениях? Тем же, что и хорошее знание каждого из членов команды помогает в выполнении коллективного задания: для эффективной работы всегда полезно учитывать индивидуальные особенности и возможности.

Самые удобные компаньоны устного счета

Наверное, многие назовут круглые числа (такие, как 20, 30, 400, 450, 10000, …) самыми доброжелательными и удобными компаньонами устного счета. Складывать или перемножать круглые числа не так уж и сложно, и в любой работе с данными округление чисел — стандартная процедура. А сколько раз на дню мы передаем информацию, используя для простоты именно круглые числа: встретиться в 11:30, купить колбасы 200 грамм, положить 100 рублей на телефон.

Обратите внимание, что в нашей культуре не принято считать дюжинами или, например, степенями двойки, но круглые числа (кратные степеням десятки) широко используются в повседневной жизни.

Именно наши дружеские отношения с круглыми числами являются основой многих «трюков» устного счета, где основной принцип — свести вычисление к работе с круглыми числами.

Например, 398 — это почти что круглое 400, чем можно воспользоваться в вычислениях, подобному этому:

398 + 26 = 400 − 2 + 26 = 400 + 26 − 2 = 426 − 2 = 424.

Или, вычисляя произведение нескольких чисел, всегда стоит поискать спрятанные в нем пятерки или двойки, потому что соединенные вместе, они образуют очень удобные десятки:

15 × 8 × 25 = (3 × 5) × (2 × 4) × 25 = 3 × (5 × 2) × (4 × 25) = 3 × 10 × 100 = 3000.

Душа числа

В последнем примере разложение чисел 15 и 8 на делители существенно помогло нам упростить вычисление. Знание делителей числа сравнимо со знанием души человека, так как они определяют его характер и свойства. Что нужно значить о числе, чтобы понять его душу:

• Четное оно или нечетное?
• Простое это число или составное?
• Является ли число полным квадратом?
• Является ли оно полным кубом?
• Является ли число степенью другого числа?

Ответы на эти вопросы часто помогают в весьма запутанных вычислениях. И если знакомясь с новым человеком, бывает затруднительно найти тему для первого разговора, то с числами «завязать разговор» не так уж и сложно, ведь у нас есть несколько очень удобных признаков делимости. Используя признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 11, очень многие числа несложно шаг за шагом разложить в произведение простых множителей — и тем самым познакомиться с этими числами поближе.

Проще — не значит лучше

На всё, что написано выше, можно возразить:

«Это, конечно, прекрасно, но непонятно одно: почему в XXI веке мы по-прежнему рассуждаем о каком-то мудреном устном счете? Почему на уроках математики часто не разрешают пользоваться калькуляторами, хотя для многих школьников это быстрее и эффективнее? И не надо говорить, что вдруг мы однажды окажемся на необитаемом острове без телефона, а нам надо будет перемножать числа столбиком!»

Это очень правильный вопрос, и каждый учитель математики должен знать, как на него ответить. Более того, не стоит ждать этого вопроса, а первыми задать его ученикам, и у них самих могут найтись прекрасные аргументы в поддержку счета без калькуляторов. Такие, как, например, этот: «Каждое вычисление без калькулятора — это шаг интеллектуального самосовершенствования».

Помните, как выглядят люди в мультфильме про робота Валл-и? Добрые, отзывчивые, смелые, и вместе с тем беззащитные, как младенцы. Упрощенная технологиями жизнь многих поколений существенно подорвала их физическое и интеллектуальное развитие — яркий пример от создателей мультфильма, что «проще — не значит лучше».

Сами преподаватели добавят, что устный счет — это гораздо больше, чем просто обучение арифметике, и даже больше, чем тренировка логики и аналитического мышления. Это бесценный тренажер сотни полезных навыков:

• Работа без калькулятора воспитывает уверенность в своих силах, помогает развить навык искать ответы без посторонней помощи.
• Решение даже самой простой математической задачи — это упражнение на планирование, выделение важного, учет деталей, анализ результатов.
• Устный счет естественным образом обучает нас умению контролировать возможные ошибки и быстро находить те из них, которые все-таки вкрались в наше решение.

Ни для кого не секрет, что хорошие навыки устного счета имеют влияние на качество повседневной жизни. Обладая такими навыками, незаметно для самих себя, мы уверенно и быстро производим небольшие бытовые вычисления в уме, что нередко приносит материальную выгоду при покупках, при планировании бюджета, в профессиональной деятельности.

И, наконец, многие педагоги признают, что в старших классах математика, физика, химия зачастую даются с трудом не из-за сложности нового материала, а из-за слабой базовой подготовки в работе с числами.

Алгебра со всеми ее иксами и игреками во многом является просто обобщением правил арифметики. Кропотливые вычисления в физике — это заключительный этап любой задачи, равно как и численные вычисления в анализе и геометрии. Сложение дробей, умножение и деление чисел, другие стандартные арифметические действия должны выполняться на этих уроках быстро и не являться препятствием на пути освоения нового материала. Именно поэтому дружба с числами помогает нам на протяжении всей школьной жизни, а незатейливые примеры арифметики, прорешенные в младших классах, закладывают кирпичики успеха в более сложных науках.

Фото: Shutterstock / Daniel Jedzura