5 задач про землекопов от учителя занимательной математики: в школе пригодится

Слышишь «землекоп» — вспоминаешь гениальный мультфильм «В Стране невыученных уроков», в котором примерно уже полвека назад у Вити Перестукина в ответе на задачу получились полтора землекопа. Блогер «Мела», учитель занимательной математики Сергей Кузин подготовил 5 оригинальных задач про землекопов. Скучно не будет!

Слово «землекоп» у многих людей прочно ассоциируется с математикой. Под землекопом в мультфильме «В Стране невыученных уроков» понимается прекрасный мужчина с лопатой, который копает траншеи. Хотя если слово «землекоп» сейчас вбить в поиске в интернете, то, вероятнее всего, вам попадется интересного вида существо без шерсти, при взгляде на которое можно легко забыть обо всем, в том числе и о мужчинах с лопатами.

Задачи про землекопов часто вызывают трудности. Поэтому давайте разберем несколько подобных задач, причем не будем обращать внимания на правильное оформление задачи, с точки зрения школьного учителя, а сосредоточимся на том, чтобы всё было предельно понятно.

Задача 1. Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 метров канавы. Сколько метров канавы выкопают 10 землекопов за 10 часов?

В таких задачах самый логичный ответ 10 почти никогда не будет правильным!

Два варианта рассуждений:

1. У нас сначала было 5 землекопов и 5 часов. Потом землекопов стало 10, часов тоже стало 10. То есть землекопов стало в 2 раза больше, и времени у них стало в 2 раза больше. Поэтому теперь они выкопают не 5 метров, как было сначала, а в 2 раза больше и еще в 2 раза больше! То есть 5×2×2 = 20 метров.
2. Можно сначала посчитать, что может ОДИН землекоп, а потом посчитать всё остальное. Пять землекопов могут выкопать 5 метров (за 5 часов), значит, 1 землекоп может выкопать 1 метр (за те же 5 часов). И дальше рассуждаем: землекопов у нас не 1, а 10, значит, и метров будет не 1, а 10 (за 5 часов). Времени у нас не 5 часов, а 10, в два раза больше, значит, и выкопают они не 10 метров, а в два раза больше — 20 метров.

Ответ: 20 метров.

Задача 2. Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 метров канавы. Сколько землекопов выкопают 100 метров канавы за 100 часов?

Два варианта рассуждений:

1. В первом случае копаем 5 метров канавы, а во втором — 100 метров, то есть копать нужно в 20 раз больше (о ужас!). Но в первом случае у нас есть на это 5 часов, а во втором — 100 часов, то есть и времени у нас на это в 20 раз больше. Копать в 20 раз больше (плохо), но и времени в те же 20 раз больше (хорошо), значит, справятся с этим заданием те же самые 5 землекопов, что и были сначала!
2. Что может 1 землекоп? Если 5 землекопов копают 5 метров (за 5 часов), то 1 землекоп копает 1 метр (за 5 часов). Рассуждаем дальше: часов у нас 100, а не 5, то есть в 20 раз больше, значит, и выкопать 1 землекоп успеет в 20 раз больше — 20 метров! Но надо нам не 20 метров, а 100, в пять раз больше, поэтому и землекопов нам для этого надо не 1, а 5.

Ответ: 5 землекопов.

Задача 3. Три землекопа выкопают 3 метра траншеи за 3 дня. За какое время 6 землекопов выкопают 6 метров траншеи?

Два варианта рассуждений:

1. Землекопов было 3, а стало 6, то есть всё они сделают в 2 раза быстрее! Это хорошо. Но и траншея теперь не 3 метра, а 6 метров, в два раза больше, значит, им придется в два раза дольше работать. Это плохо. Получается, что те же самые 3 землекопа как раз справятся с задачей.
2. Три землекопа выкапывают 3 метра (за 3 дня), значит, один землекоп выкапывает 1 метр (за 3 дня). Землекопов у нас 6, а не 1, значит, они выкопают не 1 метр, а 6 метров (за 3 дня).

Ответ: 3 дня.

Задача 4. Три землекопа за два часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за пять часов?

Два варианта рассуждений:

1. Землекопов сначала у нас 3, а потом 6, то есть они смогут выкопать в 2 раза больше, не 3, а 6 ям! Времени сначала у нас 2 часа, потом 5 часов, то есть в 2,5 раза больше, то есть ям будет уже не 6, а в 2,5 раза больше, 15 ям!
2. Что может один землекоп? 3 землекопа могут выкопать 3 ямы (за 2 часа), значит, 1 может 1 яму (за 2 часа). Рассуждаем дальше: землекопов у нас будет 6, а не 1, значит, и ям они выкопают не 1, а 6 (за 2 часа). Но и времени у них будет не 2 часа, а 5, то есть в 2,5 раза больше, поэтому не 6 ям, а 6×2,5 = 15 ям.

Ответ: 15 ям.

Задача 5. 2 землекопа за 2 часа выкопают 2 метра канавы. Сколько землекопов за 6 часов выкопают 12 метров канавы?

Два варианта рассуждений:

1. Времени сначала было 2 часа, а потом стало 6 часов, то есть они смогут выкопать в 3 раза больше, не 2 метра, а 6 метров! Метров должно быть 12, а не 6, поэтому и землекопов нужно в 2 раза больше, то есть 4 землекопа.
2. Что может один землекоп? 2 землекопа выкопают 2 метра канавы (за 2 часа), значит, 1 землекоп выкопает 1 метр (за 2 часа). Рассуждаем дальше: часов у нас 6, а не 2, значит, землекоп выкопает в 3 раза больше, 3 метра. А надо нам 12 метров, в 4 раза больше. Значит, и землекопов надо в 4 раза больше, не 1, а 4!

Ответ: 4 землекопа.

Иллюстрация: © Rawpixel.com / Shutterstock / Fotodom