Профессор Стэнфорда и исследователь Джо Боулер в своих работах и выступлениях учит правильно объяснять детям математику. В книге «Математическое мышление», которая вышла в издательстве «МИФ», она рассказывает о важности ошибок и о том, как родителям и учителям правильно реагировать на них.

Ошибки в нашей жизни

Исследования успешных и неудачливых бизнесменов дали неожиданный результат: их характеризует количество не успехов, а ошибок. Да, более успешные люди совершают больше ошибок. Starbucks — одна из самых именитых компаний в мире, а её основатель Говард Шульц — один из самых успешных предпринимателей современности. Когда он создал компанию, позже ставшую Starbucks, он использовал в качестве модели итальянские кафе. В США в то время было не так уж много кафе, а Шульц восхищался итальянскими заведениями. В первых кафе Шульца кофе подавали официанты в бабочках, в которых им было не по себе; пока клиенты пили кофе, в зале звучала оперная музыка. В США клиенты не очень хорошо восприняли этот антураж, и команда Шульца начала всё с нуля и совершила ещё много ошибок, прежде чем в итоге был создан бренд Starbucks.

Журналист The New York Times Питер Симс написал много работ о роли ошибок в формировании творческого предпринимательского мышления (Sims, 2011). Он отмечает: «Несовершенство — часть любого творческого процесса и жизни, хотя почему-то мы живём в культуре, для которой характерен парализующий страх перед неудачей, мешающий действовать и усиливающий перфекционизм. Именно такой образ мыслей лишает веры в себя, если человек стремится стать более изобретательным и предприимчивым».

Кроме того, Питер Симс перечисляет основные привычки успешных людей, утверждая, что все они делают следующее.

• Чувствуют себя комфортно, когда ошибаются.
• Пытаются реализовать на первый взгляд безумные идеи.
• Открыты разным типам опыта.
• Играют с идеями, не давая оценок.
• Готовы выступить против традиционных представлений.
• Не сдаются перед лицом трудностей.

В изучении математики эти привычки не менее важны, чем в жизни. Но, как это ни удивительно, они не применяются на уроках математики и во время выполнения домашних заданий по этому предмету. Необходимо, чтобы ученики чувствовали себя свободно, смело пробовали разные идеи и не боялись ошибок, придерживались открытого подхода к изучению математики и были готовы играть с задачами, пытаясь реализовать «на первый взгляд безумные идеи».

Нужно, чтобы ученики выступили против традиционных представлений, отбросив идею о том, что одни люди могут заниматься математикой, а другие нет. Безусловно, необходимо, чтобы ученики не сдавались, когда задание по математике оказывается трудным и они не сразу находят решение.

Как изменить отношение к ошибкам?

Один из самых эффективных шагов, которые могут предпринять учителя и родители, — изменение обратной связи об ошибках и неправильных ответах в математике. Недавно я получила очень трогательное видео от учителя, который прошел мой онлайн-курс и начал учебный год с того, что рассказал на занятиях для отстающих учеников о важности и ценности ошибок.

За год дети полностью изменились; они сделали выводы из прошлых неудач и снова приступили к изучению математики, но уже с положительным настроем. Этот учитель прислал видео, где ученики рассказывают о том, что сигнал о росте мозга под воздействием ошибок изменил для них всё. По словам этих детей, раньше они считали себя неудачниками и это мешало им добиваться успеха. В работе новый учитель использовал такие сигналы и методы преподавания, под влиянием которых они оставили в прошлом многолетний страх перед математикой и начали изучать этот предмет с новым рвением.

Когда мы говорим ученикам, что ошибки полезны, они как будто освобождаются от тяжкого груза

В рамках своего онлайн-курса для учителей и родителей я поделилась со слушателями новой информацией об ошибках и поставила им интересную задачу: придумать игру, которая изменит отношение учеников к ошибкам в классе и дома.

Одна учительница рассказала о своем методе: в самом начале урока она просит учеников смять лист бумаги и бросить его в сторону доски с тем чувством, которое они испытывают, когда делают ошибки в заданиях по математике. Ученики дают выход своим эмоциям (обычно разочарованию), швыряя смятые листы бумаги в доску. Затем учительница предлагает детям поднять листы, разровнять их и цветными маркерами разрисовать образовавшиеся на бумаге складки, которые олицетворяют рост их мозга. И затем хранить эти листы в своих папках весь учебный год как напоминание о важности ошибок.

Несколько лет назад я начала работать с Ким Холлиуэлл — великолепной учительницей, входящей в состав группы из объединённого школьного округа Виста, с которой я тесно сотрудничала на протяжении двух лет. В 2015 году я побывала в классе Ким и увидела, что все стены увешаны замечательными рисунками, на которых ученики изобразили свой мозг и написали позитивные высказывания о росте мозга и об ошибках. Ким рассказала мне, что попросила учеников выбрать любимые высказывания о росте мозга из всех, которые они вместе просмотрели, и написать их на изображениях своего мозга.

Ещё одна стратегия, подчёркивающая важность ошибок, — предложить ученикам сдать свою работу в любом виде, даже тест (хотя чем реже мы проверяем уровень знаний учеников, тем лучше). После этого учителя выделяют «любимые ошибки». Они должны объяснить ученикам, что ищут свои самые частые ошибки (серьёзные, а не числовые погрешности). Затем дети могут рассказать об этих ошибках на уроке и начать в классе обсуждение: почему это ошибки и чем они обусловлены.

В этот момент целесообразно подкрепить важные сигналы — в частности, сказать ученику, что ошибка принесла ему пользу, поскольку в этот момент он напряжённо размышлял, что привело к активизации и росту его мозга. Кроме того, полезно рассказывать об ошибках и обсуждать их. Если один ученик делает ошибку, мы знаем, что другие тоже могут ее допустить; поэтому возможность проанализировать ошибку приносит пользу всем.

Если ставить ученикам оценки за выполнение заданий по математике (бесполезная практика, о которой мы поговорим позже), а также снижать баллы за ошибки, они получают крайне негативный сигнал об ошибках и изучении математики. Чтобы развивать у учеников мышление роста и давать им позитивную обратную связь, учителя должны свести к минимуму тестирования и оценку уровня знаний учеников. Если учителя продолжают проводить тесты и оценивать уровень знаний учеников, им следует ставить такие же (если не более высокие) оценки за ошибки. Это будет хороший сигнал о том, что ошибка — отличная возможность для обучения и роста мозга.

Очень важно подчёркивать ценность ошибок во время урока, в присутствии всех учеников. Но учителям необходимо также давать позитивную обратную связь об ошибках во время взаимодействия с учениками один на один. В первые годы учебы в школе моя дочь получила от учителей сигналы, которые нанесли ей огромный вред и из-за которых у неё в раннем возрасте сформировалось фиксированное мышление. В четыре-пять лет у неё были проблемы со слухом (о чем мы тогда не знали). Из-за этого учителя решили, что у неё ограниченные способности, и давали ей только лёгкие задания.

Моя дочь полностью осознавала это; когда ей было всего четыре, она спрашивала меня, почему другим детям дают более сложные задачи. Мы знаем, что ученики тратят в школе много времени на то, чтобы понять, что о них думают учителя.

Моя дочь смогла определить, что её учителя не очень высокого мнения о ней, поэтому убедила себя в том, что она глупая

Сейчас ей двенадцать, она стала совсем другим человеком и полюбила математику, поскольку уже проучилась три года в замечательной школе, где сразу же определили, что у неё фиксированное мышление, и поняли, что это сдерживает её развитие.

Когда моя дочь училась в четвёртом классе и всё ещё страдала от фиксированного мышления, мы с ней побывали на уроке математики в третьем классе её школы. Учительница записала на доске две числовые задачи; моя дочь одну решила правильно, а другую неправильно. Обнаружив ошибку, она отреагировала весьма болезненно, заявив, что у неё совсем плохо с математикой и она даже слабее третьеклассников. В этот момент нужно было сказать ей нечто очень откровенное и важное. Я заявила: «Знаешь, что сейчас произошло? Когда ты решила задачу неправильно, твой мозг вырос, а когда ты получила правильный ответ, в твоем мозге ничего не произошло».

Именно так учителям стоит взаимодействовать со своими учениками, которые совершают ошибки. Дочь взглянула на меня широко распахнутыми глазами — и я поняла, что для неё это была очень важная мысль. Сейчас она переходит в шестой класс, и она стала совсем другой: позитивно воспринимает ошибки и положительно относится к себе. Это стало возможно не потому, что ей давали больше заданий по математике или другой работы, а благодаря тому, что её учили развивать мышление роста.

В 1930-е годы швейцарский психолог Жан Пиаже, один из крупнейших специалистов мира, отбросил идею о том, что суть обучения сводится к запоминанию. Он отмечал, что истинное обучение зависит от понимания того, как идеи согласуются друг с другом. Пиаже предположил, что у учеников есть ментальные модели, определяющие способ сведения идей воедино, а когда они приобретают для учеников определённый смысл, возникает то, что психолог назвал «равновесием» (см., например, Piaget, 1958, 1970).

Сталкиваясь с новыми идеями, ученики пытаются привести их в соответствие с имеющимися ментальными моделями. Но если новые идеи не вписываются в существующие модели или эти модели необходимо изменить, ученики приходят в состояние, которое Пиаже обозначал термином «отсутствие равновесия». В таком состоянии человек знает, что новую информацию нельзя включить в его модели обучения; но её нельзя и отбросить, поскольку она имеет смысл. И тогда человек пытается скорректировать свои модели.

На первый взгляд может показаться, что отсутствие равновесия вызывает дискомфорт. Но, по мнению Пиаже, именно оно дарит истинную мудрость. Психолог представил обучение как процесс перехода от равновесия, в котором всё связано воедино, к отсутствию оного, когда новая идея не согласуется с существующими моделями, а затем снова к состоянию равновесия. Пиаже утверждает, что этот процесс крайне важен в обучении (Haack, 2011).

В главе 4 рассматриваются практика в математике и типы практических заданий, одни из которых приносят пользу, а другие нет. И я подчёркиваю, что одна из проблем нынешнего математического образования состоит в том, что учеников знакомят с однообразными и простыми концепциями, не позволяющими им перейти к отсутствию равновесия. Мы знаем, что людям с высокой терпимостью к неопределённости легче переходить от отсутствия равновесия к равновесию, — и поэтому мы должны чаще ставить учеников в условия неопределённости и риска. В следующих главах показано, как это можно сделать.

Исследования ошибок и отсутствия равновесия крайне важны для преподавания математики, причем не только для создания методов работы над ошибками, но и для выбора заданий.

Если мы хотим, чтобы дети делали ошибки, нужно давать им сложные и интересные задачи, которые им трудно выполнить, но которые обеспечат отсутствие равновесия

Задания должны сопровождаться позитивной обратной связью — сигналами, которые помогут ученикам чувствовать себя комфортно, когда они будут напряжённо работать, делать ошибки и двигаться дальше.

Это серьёзные изменения для многих учителей, которые сейчас подбирают задания по математике так, чтобы ученики могли успешно справиться с ними, и задают вопросы, на которые дети обычно отвечают правильно. Получается, ученики не работают с полной отдачей и не получают достаточных возможностей для обучения и роста мозга.

На семинарах Кэрол Дуэк часто говорит родителям, чтобы те донесли до своих детей такую мысль: в правильном выполнении задания нет ничего хорошего, поскольку это свидетельствует об отсутствии обучения. И если дети приходят домой и говорят, что правильно ответили на все вопросы во время урока или теста, родителям стоит реагировать так: «Жаль: выходит, у тебя не было возможности чему-то научиться». Это весьма резкий отклик, но важный: нужно вытеснить идею, которую часто внушают в школе: «Надо делать всё правильно, отсутствие ошибок — признак ума». Мы с Кэрол пытаемся изменить видение учителей, чтобы они придавали правильному выполнению заданий меньшее значение, и большее — важности ошибок.

Сэнди Гиллиам — замечательная учительница, за которой я наблюдала много лет. Её ученики добиваются серьёзных успехов и любят математику. Однажды я присутствовала на первом занятии, которое она проводила для учеников старших классов. Когда те работали над заданием, Сэнди заметила, что один ученик сделал ошибку и понял это. Она подошла к мальчику и попросила его показать свою ошибку на доске. Он неуверенно посмотрел на учительницу и сказал: «Но я же получил неправильный ответ». Сэнди ответила, что именно поэтому она хочет, чтобы ученик поделился своим результатом, и это очень полезно. Ведь такую же ошибку могут сделать и другие, поэтому стоит обсудить её всем классом. Мальчик согласился и записал свой ход мыслей на доске. Со временем рассказы о своих ошибках стали для учеников обычной практикой.

Я часто показываю видео с учениками Сэнди, которое помогает учителям и директорам школ понять, чего могут добиться дети при эффективном преподавании математики. На одном из моих любимых видео показано, как ученики Сэнди пытаются вместе решить на доске сложную задачу. Ученики напряжённо работают над решением и слушают друг друга, когда кто-то из них предлагает идею. Они часто ошибаются и выбирают неверный путь, но в итоге общими усилиями добиваются результата. Это яркий пример того, как ученики используют стандартные математические методы и практические задания (в соответствии с рекомендациями CCSS — Единого комплекса государственных образовательных стандартов).

Они объединяют свои идеи с известными им методами, чтобы решить нестандартную прикладную задачу из тех, с которыми им предстоит столкнуться в реальном мире. Опытные учителя, которые смотрят это видео, часто отмечают, что ученики чувствуют себя комфортно, предлагая различные идеи, и не боятся ошибиться. И вот почему дети способны эффективно выполнять задания, когда им не мешает страх перед ошибками: Сэнди научила их принимать ошибки и подчёркивает их важность в обучении.

Недавно я работала в Стэнфорде над одним исследованием вместе с Кэрол Дуэк, Грегом Уолтоном, Кариссой Ромеро и Дэйвом Паунеску. Именно они предложили множество приемов, которые улучшают мышление учеников и усиливают их чувство принадлежности к школе. В ходе исследования мы провели сеанс воздействия на мышление учителей, объяснив им значение ошибок и ряд идей по поводу преподавания, о которых идет речь в данной главе.

Мы быстро выяснили, что у учителей, которые были подвергнуты воздействию, гораздо более развито мышление роста и более положительное отношение к ошибкам в математике. Вдобавок они сообщили о том, что используют во время уроков разные идеи по поводу поощрения ошибок. Есть и другие важные изменения, которые учителя могут внести в свои уроки; они рассмотрены в следующих главах.

Пока хочу отметить, что одно из самых важных изменений, которое могут без труда внедрить учителя или родители (и оно принесет ученикам огромную пользу), — корректировка обратной связи об ошибках. В следующей главе я расскажу, как важно изменить сам подход к математике. Необходимо показать ученикам, что истинная математика — не нечто неизменное и основанное на процедурах; это открытый и творческий предмет, суть которого сводится к установлению связей, обучению и развитию.