Мы уже рассказывали, что каждая школа сама устанавливает порядок промежуточной аттестации. Но чаще всего учителя просто подсчитывают среднее арифметическое. Почему такой способ противоречит правилам математики (а иногда и вредит детям), разбирается наш блогер Юрий.

Вы знаете, как найти среднюю оценку ученика за четверть или год? «Это же просто, — ответит читатель, — конечно, через среднее арифметическое: складываем все оценки и делим на их количество». Второй вопрос сложнее: почему для этой цели используют среднее арифметическое? В этом месте мой собеседник обычно берет паузу, чтобы подумать. «Ну, так всегда делали в школе», «Так рекомендует департамент образования», «А как иначе можно найти среднюю оценку, как не через среднее арифметическое?»

Действительно, вопрос ставит в тупик. Современному учителю теперь даже не нужно задумываться, как вычислить среднюю оценку. За него это сделает электронный дневник. А уж создатели дневника сами позаботятся, как вычислять среднюю оценку: через среднее арифметическое или через среднее взвешенное.

В англоязычных странах оценки выставляют буквами латинского алфавита. К примеру, А — это отлично, В — хорошо, С — удовлетворительно. Уровни градации могут несколько различаться в зависимости от страны. Если школьные оценки выставлять буквами, как в таком случае применить среднее арифметическое? Я не знаю, как выставляют итоговые отметки там (если кому-то известно, пишите в комментариях), но знаю, что среднее арифметическое использовать точно нельзя.

Почему? Ответ скрывается в типе измерительной шкалы, применяемой для школьного оценивая. Измерительная шкала — одно из основополагающих понятий для любого измерительного процесса. Каждый раз, проводя измерения какого-либо свойства, мы сравниваем это свойство с заранее заданной шкалой, которая проградуирована в единицах этого свойства. К примеру, измеряя ширину стола мы сравниваем это свойство стола (ширину) со шкалой на рулетке, проградуированной в сантиметрах и миллиметрах.

Данные, которые мы получили в результате измерения, в зависимости от типа шкалы, могут обладать различными ограничениями по применению к ним математических действий. Шкала, которая используется для оценивая знаний в школе — порядковая. Порядковые шкалы работают с качественным данными — их можно упорядочить, то есть ранжировать по возрастанию или убыванию изучаемого признака. Школьные оценки — это качественные характеристики, а не количественные: 5 — отлично, 4 — хорошо, 3 — удовлетворительно. И пусть вас не смущает использование цифр, они там всего лишь для солидности, мы с таким же успехом можем использовать буквы, фрукты или машинки.

При этом в порядковой шкале интервалы между соседними значениями не отражают разрыва между реальными результатами. Математическая разница между тройкой и четверткой, и разница между четверткой и пятеркой — ровно один балл. А разница в реальных знаниях школьного предмета может быть совершенно разной. И даже два ученика, получившие одну и ту же оценку, могут владеть материалом по-разному.

Так как в порядковой шкале не заданы равные интервалы между соседними значениями, все действия по сложению и вычитанию оценок не имеют смысла. А вычисляя среднее арифметическое мы как раз и используем сложение оценок. Конечно же, сами числа не возмутятся, а калькулятор не запретит выполнить нам подобные вычисления, но какой в этом будет смысл?

Порядковая шкала нам позволяет лишь сравнивать между собой значения: что больше, а что меньше. Но на сколько больше или меньше для данных, полученных с помощью порядковой шкалы, мы не знаем. Порядковые данные мы можем лишь упорядочивать в порядке возрастания или убывания, а школьные оценки, по своей сути, являются лишь порядковыми номерами.

Если в шкале школьных оценок нельзя использовать среднее арифметическое, как тогда находить среднюю оценку? Для порядковых шкал есть свой инструмент нахождения среднего значения — это медиана. Для нахождения медианы нам нужно упорядочить оценки по возрастанию или убыванию. Средней будет та, которая располагается в ряду ровно посередине. Например, ученик получил за четверть 2,3,4, 4, 4. Если использовать медиану, то в четверти у него выходит 4. А если бы мы подсчитывали среднее арифметическое, у ребенка вышла бы тройка. Как видите, все достаточно просто.

Десятки лет в наших школах находят среднюю оценку, нарушая основы математики. Сила традиции и привычки настолько велика, что, скорее всего, вы не согласитесь со мной и по-прежнему будете настаивать на использовании среднего арифметического. Чаще всего, среднее арифметическое с последующем округлением будет давать результат, сходный с медианой, но это не повод для ошибочных рассуждений в подобных вычислениях.

Если вас заинтересовала эта тема, вы не согласны со мной и хотите больше примеров и подробных объяснений, специально для вас я записал это подробное видео: рассказываю, почему ошибается даже электронный журнал, когда считает средневзвешенный балл, и выясняю, какую отметку выставит ChatGPT.

Фото: Anton Vierietin / Shutterstock / Fotodom