Даже в английском языке, из которого это слово заимствовано, оно может писаться по-разному: slide show и slideshow. А как писать по-русски? И вообще, какие нормы правописания регулируют такие случаи?

Правильно: слайд-шоу

В русском языке никаких равноправных вариантов написания этого слова не существует: есть правильный — «слайд-шоу», и есть все остальные, ошибочные. Кстати, через дефис пишутся и названия других разновидностей шоу: «ток-шоу», «реалити-шоу» и т. д. Исключений всего несколько: «авиашоу», «фотошоу» и «супершоу». «Фото-» как первая часть сложных слов всегда пишется слитно (правда, и тут есть исключение: «фото-арт»); приставка «супер-» тоже всегда пишется слитно (но тоже, увы, с исключениями: «супер-эго», «супер-мини-компьютер»).

И только «авиа-» не изменяет себе и всегда пишется слитно в составе сложных существительных.

Фото: bondart / shutterstock / fotodom