Ксения Букша опровергает стереотип о том, что к математике нужна особая способность и дает несколько советов, каким образом ребенку лучше понять математику, а родителям — помочь ему увлечься ей и правильно выбрать школу.
Уметь видеть задачу
Эта проблема из серии «дети и математика» — чисто практическая и с ней чаще всего сталкиваются родители. Сидит «наш балбес». И перед ним лежит… назовем это «примером».
— Восемь рабочих строят стену десять часов. За сколько часов построят эту же стену пять рабочих? Что тут нужно сделать?
— А-а, тут надо перемножить и потом разделить. Восемь надо умножить на пять и разделить на десять. Значит, ответ — за четыре часа.
—?!
Что здесь происходит?
Ребенок привык, что школьная задача — это шарада. Есть слова, под ними лежит какой-то простой алгоритм. Надо его угадать и применить, «посчитать»
При этом его совершенно не волнует, что пять человек построили стену быстрее восьми. Почему это происходит? Потому что в школьной математике, как правило, отсутствует формирование важного первостепенного навыка — умения видеть задачу. То есть понять: что же нам нужно узнать, какой это имеет смысл? И каким образом мы это узнавать будем? Если стену надо построить быстрее, рабочих надо больше или меньше? А «быстрее» — это больше или меньше часов? А насколько? А мы можем узнать, какую часть стенки они построили за час? А по-другому узнать можно?
В некоторых программах предусмотрено формирование этого навыка, и хорошо, если учитель понимает, как это важно. Но такая удача выпадает не всем. Очень неправы те, кто полагает, что умение думать — это вишенка на торте, это для талантливых, математически одаренных детей, а «нам бы что попроще». Это не так. Без умения видеть, где задача, без умения чувствовать подвох, когда пять человек у нас строят стену быстрее восьми, совершенно бесполезно учить ребенка складывать 675 и 289.
Более того, вообще в целом важнее для человека сразу знать, что треть от пятисот не может быть двести, чем уметь делить с остатком. На этом уровне математика — это не арифметика, а умение выходить из спящего режима, из автопилота, вот это самое «включать мозг», о котором кричит ребенку закипающий за уроками родитель. Напротив, отрабатывание алгоритма направлено именно на то, чтобы автопилот включить навсегда, без возможности сменить режим управления на ручной.
Хороши те учебники, те программы и те учители, которые уделяют больше внимания тому, «как это получается», дают ученику самостоятельно встретиться со своей мыслью
Даже до того, что если на трех деревьях сидят 1, 3 и 4 вороны, то можно считать ворон в любом порядке — даже до этого нужно додуматься, и только тогда это действительно поймешь. Каждый следующий шаг, каждый следующий алгоритм имеет ценность только тогда, когда ученик сделал его в своей голове самостоятельно.
В хороших программах есть длительный (и повторяющийся) этап, когда ученикам даются странные задачи: задачи с ошибкой в условии, задачи с подвохом, такие, в которых отсутствует, например, вопрос. Снова и снова учеников подводят к тому, что задачу нужно сначала найти, а потом уже ее решать. Никто не говорит, что совсем не надо объяснять алгоритма или учить детей технике решений. Просто нужно хотя бы чуть-чуть делать паузы между этими объяснениями. И чем паузы длиннее, и чем более умело учитель направляет ребят (не давая им ни потерять интерес, ни взять готовое решение) — тем больше будет толка и смысла.
Как я думаю и что я знаю
Есть такая штука — метакогниция. Это когда «я думаю о том, как я думаю», «я узнаю, что именно я знаю». Вот эта штука, по-видимому, одна из главных вещей при становлении математического мышления. То есть прежде чем хвататься за задачу и искать в ней «на что она» (то есть какие готовые алгоритмы в ней зашифрованы), математически не оболваненный ученик мысленно производит ревизию всего, что он знает, и пытается чем-то из этого воспользоваться. Даже если он знает слишком мало, чтоб решить эту задачу, — особенно в этом случае! — его размышления будут плодотворными. Он как бы повторяет путь древних, которые еще не знали алгоритмов.
Блестящих результатов добился в свое время Этьен Паскаль, который вовсе не учил своего сына Блеза математике — считал, что в 11 лет еще не время. В результате, рисуя и прикладывая друг к другу «кружки и палочки», Блез переоткрыл всю евклидову геометрию самостоятельно и, как известно, сам стал математиком.
Я знала одну отличную учительницу начальных классов, у которой дети вырезали из рулона старых обоев квадратные метры и шли выкладывать ими пол в коридоре
Многие ребята к своим 7-8 годам еще не способны были бы понять, что такое площадь без такой конкретики. Потом, когда все поняли и с удовольствием посчитали площадь разных полов и стен, учительница задала им вопрос, что они будут делать, если понадобится измерить площадь круглой беседки во дворе. Нужны ли будут какие-то специальные круглые метры или можно будет обойтись как-то иначе? Как? Здесь ей неожиданно очень пригодилась популярная в то время среди девочек игра — на листе в клеточку рисовалось большое сердце и потом зарисовывалось фигурками из тетриса. Неполные части фигур по краям — не считались. Потом при изучении интеграла одна из тогдашних первоклассниц со смехом вспоминала эти сердечки.
Метакогниция работает начиная с самой первой ступеньки. Уже тогда, когда ребенок говорит: «Мы этого не проходили». Уже это — плодотворная математическая мысль! Потому что в ответ можно задать встречный вопрос: не проходили что именно? Почему ты «этого» не знаешь? И как бы ты мог «это» узнать?
Неспособных к математике не бывает
Традиционно проблема математической одаренности и компромисса с программой формулируется так: «В классе есть дети с самыми разными способностями. Естественно, мы ориентируемся на средний уровень. Кроме того, детей много, у учителя нет времени на то, чтобы все своим ходом додумывались до каждого алгоритма».
На деле проблемы способностей на этом уровне не существует вообще. В начальной школе есть дети с проблемами незрелости и задержки логических и вообще когнитивных способностей, памяти, внимания, концентрации.
Эти проблемы решаются другими индивидуальными методиками коррекции — а порой достаточно и просто подождать. Но ждать якобы нельзя — «отстанет еще сильнее»
А ведь именно таким детям, у которых не очень хорошо с памятью и вниманием, так важно на самом деле понять, почему восемь человек построят стену быстрее пяти. Именно для них — методики с вещественными квадратными метрами, именно с ними — надо дождаться, пока они смогут соотнести цифру и количество. Невозможно обойти, замять эти проблемы, заставив детей зазубрить состав числа и таблицу умножения: они будут вылезать снова и снова. И обучение думать тут не преждевременная роскошь, а еще большая необходимость.
Что же касается детей с уже созревшей способностью к логическому мышлению, то среди них почти нет таких, которых нельзя было бы научить математике. Их так же мало, как абсолютно не способных петь или рисовать.
«Неспособные к математике» — это в целом такой же миф. По-настоящему ярко одаренных мало и тут, как во всех других сферах; но все остальные — вполне могут математику понять и полюбить. Мне повезло встретиться с математикой в десятом классе школы. До этого я считала себя «чистым гуманитарием», потому что оторванные от процесса думания алгоритмы наводили на меня тоску. А вот фракталы, Бенуа Мандельброт, бросание костей, романтика укрощения риска, игры со случайностью — заставили меня начать разбираться в матанализе, линейной алгебре и теории вероятностей. При этом я абсолютно никогда не тянула на математически одаренного человека — просто мне посчастливилось встретиться с областью, в которой я увидела красоту.
Математика — для красоты
Да, математика — она для красоты. Об этом пишет Пол Локхард в отличной статье «Плач математика». И, как любое другое искусство, математику не проведешь: она либо красивая, либо нет. Локхард приводит отличный рассказ о том, чем может быть настоящее преподавание математики:
«Например, когда я в настроении подумать о геометрических формах — а я часто оказываюсь в таком настроении — я могу представить себе треугольник, вписанный в прямоугольник.
Я думаю о том, какую часть прямоугольника занимает треугольник. Примерно две трети, похоже? Тут важно понимать, что я думаю не о рисунке треугольника в прямоугольнике. И я говорю не о треугольнике-части фермы моста. В этом нет скрытой практической цели. Я играю.
…В случае с нашим треугольником в прямоугольнике, я вижу кое-что простое и красивое.
Если я разрежу прямоугольник на две части по пунктирной линии, сразу видно, что стороны треугольника рассекают каждую из частей ровно надвое. Значит, вне треугольника такая же часть прямоугольника, что и внутри, и, следовательно, площадь треугольника в точности равна половине площади прямоугольника!
Вот так выглядит и ощущается математика».
Далее Пол Локхард предлагает возможное поведение учительницы, которая хочет учить детей математике, а не заставлять зубрить алгоритмы:
«Я думала о задаче с треугольником и кое-что заметила. Смотрите, если треугольник наклонный, то он не занимает половины прямоугольника!
Наше рассуждение с рассечением треугольника было в предположении, что вершина находится над основанием. Теперь нам нужна новая идея.
— Попытаться рассечь его как-то иначе?
— Конечно. Перепробуй всевозможные идеи. Дай мне знать, что у тебя выйдет!»
Кстати, из этого рассказа прекрасно видно, что если преподавать математику в школе честно, то геометрия выйдет на первый план. Потому что язык алгебры становится понятен и интересен детям гораздо позже, чем красота простых геометрических рисунков. От конкретного к абстрактному, от рисунка к записи, от игры с числами к законам — такой могла бы быть логика другого преподавания математики.
Идти или нет в матшколу?
Распространенная проблема. По математике была пятерка, поступил в матшколу или в технический вуз. И вдруг — здравствуй, математика, так вот ты какая! Оказывается, я любил совсем не тебя, а свое умение мирно и без напряжения складывать пазлы из готовых алгоритмов. А математика другая, и еще неизвестно, удастся ли добиться с ней взаимности.
Такая вещь, как математическая одаренность, склонность к математике, конечно, существует, но выявить ее именно на школьном математическом материале — вряд ли возможно
Если ребенок легко постигает правила настольных и логических игр, стремится разгадывать головоломки и составлять свои, если его радуют шифры, схемы, незнакомые языки, если циркуль кажется ему прекрасной игрушкой и так далее — то, вполне возможно, ему понравится и настоящая математика. Таких детей совсем немало, как и детей с хорошим слухом и чувством ритма. Но важно понять, что такое математика до того, как решишь ею заниматься серьезно.
Предположим, мы уже знаем, что такое математика, и хотим ею заниматься, как некоторые занимаются музыкой или рисованием. Есть тысяча способов заняться тем или другим искусством, и один из таких способов — поступить в музыкальную или математическую школу. К сожалению, сейчас ситуация в России такая, что приходится выбирать между двумя одинаково несовершенными стратегиями: либо совсем никакой математики (музыки, шахмат) — либо только это. Либо учиться в такой школе и брать на себя тяжелые нагрузки — либо не брать их и учиться каким-то другим способом, требующим гораздо большей изворотливости и творческих способностей со стороны и ученика, и родителей.
В обычной школе ни математике, ни чему-либо другому ребенка, скорее всего, не научат. В больших городах существуют хорошие математические кружки, которые могут до какой-то степени заменить матшкольную атмосферу
Но главный вопрос даже не в этом, а в том, что делать дальше. Поступив в один из все еще хороших российских вузов, вы сможете на несколько лет этот вопрос отсрочить, но он неизбежно встанет перед вами после его окончания. Сейчас в России человеку с менталитетом выпускника матшколы, человеку, для которого высшая доблесть решать задачки, трудно будет найти себе достойное применение. Самые крутые задачки мира решаются не здесь. Вероятно, на данный момент правильнее всего будет пробовать поступать на технические специальности в западные вузы.
Если же речь об этом пока не идет, то математика — такая же в целом общедоступная вещь, как музыка и рисование. Ей действительно можно научить всех. И вопрос «зачем» тут так же неуместен, как и в случае с другими бесполезными искусствами. Конечно, кто-то и математиком может стать, чем черт не шутит. А остальные просто будут немножко больше людьми.
Да и школы, в которых математика и не только, тоже есть.