Варианты «на кухне» и «в кухне» считаются равноправными (внезапно), особенно когда мы имеем в виду обычное понимание слова «кухня» — помещение, где мы готовим еду.

Правильно: на кухне

Правильно: в кухне

Да, сказать можно и «обедать в/на кухне», и «пригласить на/в кухню». А вот если подразумеваем «скрытый механизм чего-либо, закулисную сторону», то корректно говорить «посвятить в свою кухню» (по аналогии «в свои дела»). А ещё во множественном числе родительного падежа будет не «кухней», а «кухонь».