Логика алгебры

Логика алгебры

Зачем вам квадратные уравнения?
Время чтения: 5 мин

Логика алгебры

Зачем вам квадратные уравнения?
Время чтения: 5 мин

Бывает два вид достижений человечества. Когда мы говорим о создании таблицы Менделеева или о написании пятой симфонии Чайковского, нам понятно, что речь идёт о гениальных одиночках. Но изготовить, например, хороший, годный двигатель внутреннего сгорания человек в одиночку не может; и никакой гениальный композитор не сможет петь хором.

Одна модель для «технологического прорыва» — 1) явный лидер, на котором всё держится и которому все подчиняются; другая модель — 2) мозговой штурм плюс слаженная работа в команде. На практике эти модели часто перемешаны или могут периодически сменять одна другую. Но первична здесь, безусловно, совместная деятельность, социальное взаимодействие — именно оно определяет развитие человека и человечества, оно же при необходимости порождает и талантливых одиночек (как эпоха Возрождения породила Леонардо да Винчи).

Мы же в школе на уроках готовим детей к деятельности внутри такой модели, в которой нет ни коллектива ни лидера, а есть только два человека лицом к лицу: начальник (в школе этого начальника олицетворяет учитель) и я — гениальный непонятый изобретатель (ученик). Понятно, что существует проектная деятельность в группах. Но она не является основной школьной задачей (а главное, не воспринимается таковой); она как бы прокладывает путь к такой жизненной модели, в которой поиграть в футбол — это да, в коллективе (это как бы проект), а вот серьёзно работать (как бы учёба) — каждый сам за себя.

Основное время школьник проводит на уроках, именно там воспитываются основные качества человека. Если школьники на уроках разговаривают друг с другом не по теме, значит, мы уже их так воспитали — приучили всеми способами избегать работы. Поэтому основную, первичную задачу учителя я бы сформулировал не как подготовку к жизни после школы (или к жизни после смерти — © С. Р.), а более прозаично: учить детей ставить и решать коллективно разнообразные задачи прямо сейчас.

Именно так: не только решать, но и формулировать задачи, отделять одну задачу от другой; и именно коллективно. Учитель, конечно, участвует в этой коллективной деятельности; но чем дальше, тем меньше. Идеальный ученик должен не то чтобы превзойти своего учителя, но к 17-18 годам должен (и я верю, что может!) естественным путём утратить необходимость в руководящей и направляющей роли внешней силы.

***

У каждого учителя есть своя зона комфорта, и он старается создать такую же зону для своего класса — в соответствии со своими представлениями о комфорте. Обычно эта зона формируется из стереотипов преподавания предыдущих поколений; и если ничего не делать, стереотипы будут накапливаться и процесс обучения постепенно будет вырождаться в тупую зубрёжку. Учитель должен время от времени выходить из своей зоны комфорта и заново осмысливать какие-то истины. Учитель должен постепенно отказываться от привычного в пользу истины. Но не резко и навсегда, а небольшими шагами — чтобы не стать психом.

Чтобы найти эту истину, надо постоянно задавать тупые детские вопросы: а зачем? Если не быть предвзятым, иногда на них получается ответить — и тогда надо делать маленький шаг «за грань».

***

Зачем нужна алгебра? Если в жизни обычного человека никогда не встретятся практические задачи на квадратные уравнения, зачем изучать эти уравнения? Есть стереотипный ответ: для развития ума. Мы пытаемся найти в умных книгах другие ответы вроде «для связи внешнего и внутреннего», но это тоже стереотипный ответ, не несущий живого содержания, не связанный с реальностью. Во всяком случае, для детей это не может быть аргументом; а аргумент — в соответствии с моим тезисом о коллективных постановках задач — должен быть найден, аргумент простой и убедительный.

Интуиция подсказывает нам, что квадратные уравнения нужны будут, например, в астрономии (к их решению сводится предсказание движения планет), в строительстве, в физике и химии, в любом производстве. Вот примеры задач:

1. Золотое сечение: a/b = (a+b)/a; чему равно a/b?

2. Ширина теплицы 2 м, мы хотим сделать угол наклона крыши 30 градусов; какова должна быть ширина крыши?

3. Кусок сплава меди и цинка объемом в 1 дм³ весит 8,14 кг. Сколько в нём меди?

4. Сколько оборотов приёмного вала диаметром d надо сделать, чтобы намотать рулон бумаги толщиной t мм и длиной L м?

5. За два года население города увеличилось на 44%. На сколько процентов увеличивается население за один год, если процент прироста постоянный?

6. (задача похуже) Расстояние между пристанями на реке равно 21 км. Моторная лодка сплавала от одной пристани к другой и обратно за 4 часа, затратив 24 минут на стоянку. Скорость течения реки 2 км/ч. Какова собственная скорость лодки?

7. (плохая задача!) Два велосипедиста выехали в одном направлении; скорость одного на 3 км/час больше скорости второго; через 120 км первый опередил второго на 2 часа. Определите скорости велосипедистов.

Проблема в том, что, конечно же, в домашней жизни обычного человека не бывает необходимости анализировать сплавы меди и цинка или считать обороты приёмного вала, или предсказывать траекторию полёта планеты (или ядра, выпущенного из пушки). Но это хотя бы что-то! Мы хотя бы косвенно обосновываем необходимость математики — через понимание естественнонаучных дисциплин. Мы как бы перекладываем все объяснения на плечи учителей физики, астрономии, географии, артиллерии…

Не «вообще все» объяснения, а практическую цель изучения орбиты планет, например. Я предполагаю, что это сделать всё-таки проще, чем объяснить, зачем нужны квадратные уравнения «вообще». Хотя бы потому, что планеты и сплавы менее абстрактны, чем голые уравнения.

***

Очевидно, что мы не можем начинать урок словами «а не потренировать ли нам сегодня соединение внешнего и внутреннего?». Но мы вполне можем начать так: «Вся наша школа носится с этим вашим золотым сечением, как кошка с салом. Но можете ли вы сами сосчитать размеры отрезков золотого сечения?»

***

Спор о том, что сложнее — «уравнение с иксами» или «формула» периметра 2a + 2b — схоластический. Очевидно, что задачу № 2 можно решить «практически» — построив транспортиром угол в 30 градусов, положив сверху длинную рейку и отпилив её вровень с краями будущей крыши, — ни уравнения, ни формулы тут не нужны. Так же очевидно, что «практически» можно решать задачи строительства лишь до определённого уровня сложности: мост через Ангару лучше, наверное, уже рассчитывать заранее с помощью «формул», а не отмерять сегменты ферм по ходу дела рейками.

Мы имеем дело здесь с разными взглядами на мир: незамутнённым взглядом практика и взглядом теоретика — через математическую абстракцию, модель. Хорошая модель всегда стоит дорого: чтобы её построить, надо много учиться. Много лет учиться. Мы учим детей на математике не «формулам и уравнениям», а именно этому — строить математические модели, помогающие решать практические задачи (вы можете усмотреть в этом «соединение внешнего и внутреннего», я не против). При этом вовсе не обязательно уметь во всех ситуациях построить правильную модель; гораздо важнее само понимание: вот с этого момента задачу будет дешевле решать с помощью модели, а не «интуитивно» (и если я пойму, что сам не могу построить модель, я обращусь к специалисту).

Я, например, в быту использую математику в экономике и в термодинамике. Пример 1: если у вас есть в кубышке 20 тысяч и кредит, разумнее отдать эти 20 тысяч в счёт кредита сейчас, а не через год. Пример 2: у вас отключили горячую воду, вы встаёте утром, набираете из-под крана кастрюлю (чайник) и греете; если вы нальёте кастрюлю не утром, а накануне вечером, утром вода нагреется вдвое быстрее; если вы будете греть воду до 70 градусов, а не до 95, вы будете тратить примерно вдвое меньше электроэнергии при том же конечном результате.

Я знаю это, потому что в школе внимательно наблюдал за графиками нагрева и охлаждения жидкости (или газа, всё равно), я изучал математические модели физических явлений.

Перед нами всегда будет стоять вопрос целесообразности, вопрос цены: дешевле ли будет применить для решения задачи математическую модель (более точно: каков оптимальный уровень абстракции)? Стоит ли наше собственное умение создавать математические модели затраченных на приобретение этого умения усилий?

***

Всё в школе делается через не то место. Мы три года учим детей РЕШАТЬ квадратные уравнения (плюс системы уравнений и неравенств, пропорции, проценты, дроби…), но сначала ведь нужно научиться эти уравнения составлять — этого требует элементарная логика: ЧТО ты будешь решать, если не можешь преобразовать задачу в уравнение?

Более того, как выглядят сами эти «текстовые задачи»? В лучшем случае, как задача № 7 — совершенно оторванная от реальности (но хотя бы не очень сложная).

***

***

***

***

***

Для кого я это всё пишу?..

Чтобы сообщить об ошибке, выделите текст и нажмите Ctrl+Enter
К комментариям
Подписаться
Комментариев пока нет
Больше статей