Задачи на действия с натуральными числами — 2

Для решения многих задач оказывается полезным проводить рассуждения о действиях, не предусмотренных условиями задачи — помните: вытащим 6 карандашей из первой коробки… Делать предположения, проводить мысленные эксперименты, комментировать получаемые результаты полезно для развития воображения, мышления и речи учащихся. Решение таких задач воспринимается учащимися как действия, которые могли бы произойти на самом деле, и эти действия помогают решить задачу.

Рассмотрим несколько задач из раздела «Задания для повторения» учебника «Математика, 5» (Просвещение, С. М. Никольский и др.).

Решение. Пусть у мамы было ещё 6 конфет, тогда после первой раздачи конфет у неё осталось бы 4 + 6 = 10 конфет. Каждому ребёнку она могла бы дать ещё по 5 — 3 = 2 конфеты. Детей было 10: 2 = 5.

Запишем решение по действиям.

1) 4 + 6 = 10 (конфет) — стало бы у мамы,

2) 5 — 3 = 2 (конфеты) — мама дала бы каждому дополнительно,

3) 10: 2 = 5 (детей) — было.

Ответ. 5 детей.

Задача 2. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динариев больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздаёт лишь по два, и у него ещё остаётся три. Сколько бедных?

Решение. Представим, что некто раздавал сначала по 2 динария (это переформулировка задачи) и у него осталось 3 динария. Если бы у него было на 8 динариев больше, то 3 + 8 = 11 динариев он распределил бы между всеми бедными, дав каждому ещё по 3 — 2 = 1 динарию. То есть бедных было 11.

Запишем это решение по действиям.

1) 3 + 8 = 11 (динариев) — можно раздать сверх выданных двух динариев.

2) 3 — 2 = 1 (динарий) — можно раздать каждому сверх выданных двух динариев.

3) 11: 1 = 11 (бедных) — было.

Ответ. Было 11 бедных.

Задача 3. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких — по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

Решение. Уравняем число колец на пирамидах, снимем с больших пирамид по 2 кольца. Тогда на пирамидах останется 20 ∙ 5 = 100 колец. Сняли 128 — 100 = 28 колец. Вернём их на большие пирамиды — по кольца 2 на каждую, тогда больших пирамид было 28: 2 = 14.

Ответ. Было 14 больших пирамид.

Закончим разбор решений задач на воображаемые действия, не предусмотренные условиями задачи старинной китайской задачей.

Задача 4. В клетке сидят фазаны и кролики. Всего у них 30 голови 70 ног. Определите число фазанов и число кроликов.

Мы обучаем детей решению задач не для получения ответа, но и с целью развития их мышления и речи, воображения в процессе работы с ними, нам небезразличен эмоциональный фон обучения. Рассмотрим диалог, найденный мною у старых мастеров методики обучения математике. Сначала учитель напоминает детям кто такие фазаны, кролики, сколько у них лап, голов, что любят есть кролики.

 — Дети, представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

— 60 (30 * 2 = 60).

— Но в условии задачи даны 70 ног, где же остальные?

— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.

— Сколько их?

— 10 (70 — 60 = 10).

— Сколько же кроликов?

— 5 (10: 2 = 5).

— А фазанов?

— 25 (30 — 5 = 25).

Дети могут предложить другой способ решения.

Представим, что в клетке было 30 фазанов, тогда у них было 60 ног. Если одного фазана заменить одним кроликом, то число голов не изменится, но добавится 2 ноги (лапы). Чтобы увеличить число ног на 10, надо выполнить 10: 2 = 5 таких замен, то есть в клетке 5 кроликов.

Ответ. Было 25 фазанов и 5 кроликов.