Задачи на совместную работу | Мел
Задачи на совместную работу
  1. Блоги

Задачи на совместную работу

Типовые задачи, которые давали решать детям в Китае почти 2000 лет тому назад
Время чтения: 4 мин

Задачи на совместную работу

Типовые задачи, которые давали решать детям в Китае почти 2000 лет тому назад
Время чтения: 4 мин

Историческая справка. Задачи, о которых пойдёт речь, на 50 лет были исключены из обучения математике в школе. Произошло это в ходе реформы математического образования конца 60-х годов прошлого века. В ходе той реформы исчезли задачи типа А, но остались задачи типа B, которые учащиеся решали плохо именно потому, что их не учили решать более простые обратные задачи типа A.

A. Первая бригада может выполнить задание за 15 ч, вторая бригада может выполнить то же задание за 10 ч. За сколько часов две бригады выполнят то же задание при совместной работе.

B. Первой бригаде выполнение задания требуется на 5 ч больше, чем второй бригаде, а при совместной работе бригады выполняют такое задание за 6 ч. За сколько часов каждая бригада, работая отдельно может выполнить это задание?

Но, кажется, «справедливость» восторжествует с принятием нового стандарта, обсуждение которого недавно закончилось. В новой редакции стандарта предлагается не изучать уравнения вида «дробь равна нулю», а значит, не решать и задачи типа B. Не зря же в статье «Полвека реформирования математического образования. От реформы академика А. Н. Колмогорова до ФГОСа» я написал: Суть двух реформ математического образования хорошо описывается двумя меткими фразами В. С. Черномырдина. Если для первой реформы подошёл бы эпиграф:

Хотели как лучше, а получилось как всегда,

то для второй реформы больше подходит другой эпиграф:

Нас никто не может упрекнуть в том, что у нас чистые помыслы.

Теперь от грустных шуток о происходящем с математическим образованием давайте перейдём собственно к задачам на совместную работу. Они известны из глубокой древности. Но начнём мы с задачи, понятной современным школьникам.

Задача 1. Один ученик уберёт класс за 20 минут, а второй за 30 минут. За сколько минут они уберут класс при совместной работе?

II способ. Предположим, что ученики работали совместно 60 минут, но убирали разные классы.

1) 60: 20 = 3 (класса) — убрал первый ученик,

2) 60: 30 = 2 (класса) — убрал второй ученик,

3) 2 + 3 = 5 (классов) — убрали они вместе,

4) 60: 5 = 12 (мин) — потратят два ученика на уборку класса при совместной работе.

Ответ. За 12 мин.

Замечание. При первоначальном обучении учащимся нужно показывать только первый способ решения, чтобы их не запутать, а когда они освоятся с задачами, решаемыми «в дробях», то можно показать и другие способы решения, которые мы здесь обсуждаем.

Задача 2. Валя и Галя пропалывают грядку 8 минут, а одна Галя — за 10 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Валя? [Сборник заданий для подготовки к ЕГЭ 2018.]

II способ. Предположим, что Валя и Галя работали совместно 40 минут.

1) 40: 8 = 5 (грядок) — пропололи вдвоём Валя и Галя,

2) 40: 10 = 4 (грядки) — прополола за 40 минут Галя,

3) 5 — 4 = 1 (грядку) — прополола за 40 минут Валя.

Значит, одна Валя пропалывает грядку за 40 минут.

III способ. Предположим, грядка была длиной 40 м, тогда Валя и Галя при совместной работе пропалывали 40: 8 = 5 (м/мин), а одна Галя — 40: 10 = 4 (м/мин). Тогда одна Валя пропалывала 5 — 4 = 1 (м/мин). На всю грядку Вале требуется 40: 1 = 40 (мин).

Ответ. За 40 мин.

Мы рассмотрели задачи двух типов с двумя участниками совместной работы — в первой время совместной работы не известно, а во второй известно. Решение первой приводит к сложению дробей, а второй — к вычитанию дробей. Но с дробями научились решать такие задачи не так давно.

Вот пример задачи из русской математической рукописи и её решение.

Задача 3. Один человек выпьет кадь кваса в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь.

Решение. Вынь 10 из 14: останется 4. Молви: 4 даст 10. Что даст 14? Умножь 14 на 10, будет 140; дели 140 на 4, будет 35 дней. За 35 дней одна жена кадь квасу выпьет.

Оставим разбор старинного решения этой задачи для самостоятельного упражнения взрослых, детям такое решение не могло быть понятно. Это и есть один из примеров обучения «по правилу», данному учителем, который я упоминал в заметке О традициях обучения решению задач в России и за рубежом.

Позднее в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого приведено более понятное решение этой задачи, которое мы включили в учебник для 5 класса серии «МГУ-школе» (Просвещение, С. М. Никольский и др.).

2-й способ. За 140 дней человек выпьет 10 бочонков, а вместе с женойза 140 дней они выпьют 14 бочонков. Значит, за 140 дней жена выпьет14 — 10 = 4 бочонка. Один бочонок она выпьет за 140: 4 = 35 дней.

Отметим, что известна задача ещё более раннего периода.

Задача 4. Китай, II в. Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Решение задачи приводит к дробному ответу. Задачу надо упомянуть для того, чтобы спросить адептов веры в то, что учить в школе надо только тому, что пригодится на практике. Вопрос: какое практическое применение искали китайцы в то давнее время, давая детям решать задачу про утку и гуся? Думается, что никакого, кроме применения на практике мышления, развитого с помощью таких задач.

Рассмотрим ещё пару задач. Первая составлена С. Сатиным (я изменил только первую строку для получения круглого ответа).

Задача 5.

За пять недель пират Ерёма

Способен выпить бочку рома.

А у пирата у Емели

Ушло б на это две недели.

За сколько дней прикончат ром,

Пираты действуя вдвоём?

Мама одной ученицы написала письмо в минобрнауки, обвинив авторов учебника «в пропаганде алкоголя». Пришлось сочинять копию задачи.

Задача 6.

За пять недель маляр Истомин

Покрасит стены в целом доме.

А лучший мастер Глеб Куделин

Покрасит стены в две недели.

За сколько дней, нам интересно,

Они всё сделают совместно?

Мы рассмотрели только простейшие задачи на совместную работу для двух участников. К сожалению, развитие темы здесь на канале затруднительно из-за необходимости писать формулы, поэтому задачи для работы ищите в источниках, упомянутых в предыдущих моих заметках, развитие темы для учащихся постарше смотрите здесь:

Совместная работа. Задачи 11 из ЕГЭ.

Чтобы сообщить об ошибке, выделите текст и нажмите Ctrl+Enter
К комментариям
Комментариев пока нет