Задачи 11 из ЕГЭ. Проценты

Задачи 11 из ЕГЭ. Проценты

Разбор заданий из сборников для подготовки к ЕГЭ
Время чтения: 6 мин

Задачи 11 из ЕГЭ. Проценты

Разбор заданий из сборников для подготовки к ЕГЭ
Время чтения: 6 мин

В данной статье будем считать, что учащиеся уже обучены решать задачу «Найти число b, составляющее p % числа a» и две обратные задачи, приводящие к нахождению a и p из равенства b = a*p / 100.

Рассмотрим способы решения задач на проценты, требующих сравнения чисел в процентах. Это не простые задачи, они ставят в тупик и взрослых. Вот вам реальный случай.

В Комсомольской правде от 14.02.2019 обозреватель отдела экономики написал о монете, полученной из обращения за 1 р.: «А недавно глянул в каталог и обмер: стоит она уже 600 рублей… Называется «Юбилейный рубль «Пушкин» 1999 года выпуска. Как тут не воскликнуть: «Ай да Пушкин!» — 600% прибыли за 20 лет!»

Давайте поправим обозревателя отдела экономики.

Задача 1. В 1999 году юбилейная монета стоила 1 р. В 2019 году она стоила 600 р. На сколько процентов подорожала монета?

Решение. I способ, Увеличение стоимости монеты в рублях составило

600 — 1 = 599 (р.).

Мы сравниваем в процентах прибыль 599 р. с первоначальной стоимостью монеты 1 р., принимаемой за 100%. Так как 599 р. в 599 раз больше, чем 1 р., то монета подорожала на 59900%.

II способ. Число а больше, чем число b на (а — b)*100% / b. Вычисляя по этой формуле, получим те же 59900%.

Ответ. На 59900%.

Приведём теперь решения задач из ЕГЭ, указывая год выпуска сборника вариантов для подготовки к ЕГЭ, из которого взята задача.

Заметим, что при решении задач на проценты лучше обходиться без пропорций, в чём можно убедиться, решив рассмотренные ниже задачи с помощью пропорций.

Начнём с задачи на «сухое вещество», чтобы повторить проценты.

Задача 2. (2018) Виноград содержит 90% влаги, изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 98 кг изюма?

Решение. I способ.

1) 100 — 5 = 95 (%) — «сухого вещества» в изюме;

2) 98 * 0,95 = 93,1 (кг) — «сухого вещества» в 98 кг изюма;

3) 100 — 90 = 10 (%) — «сухого вещества» в винограде;

4) 93,1: 0,1 = 931 (кг) — масса винограда.

II способ. Пусть надо взять x кг винограда, он содержит 100 — 90 = 10 (%) «сухого вещества», т. е. 0,1x кг. Изюм содержит 100 — 5 = 95 (%) «сухого вещества», т. е. 0,9 * 98 = 93,1 (кг). Составим уравнение:

0,1x = 93,1.

Его единственный корень 931. Надо взять 931 кг винограда.

Ответ. 931 кг.

Задача 3. Число увеличили на 10%, полученное число ещё раз увеличили на 10%. На сколько процентов увеличилось первоначальное число за два раза?

Здесь и далее неизвестное число, от которого находят проценты, будем обозначать буквой.

Задача 4. (2019) Одиннадцать одинаковых рубашек дешевле куртки на 1%. На сколько процентов четырнадцать таких же рубашек дороже куртки?

Решение. Пусть r — цена рубашки, k — цена куртки (в руб.). Тогда верны равенства:

11r = k — 0,01k,

11r = 0,99k,

r = 0,09k,

14r = 1,26k.

Последнее равенство означает, что 14 рубашек стоят k + 0,26k, то есть дороже куртки на 26%.

Ответ. На 26%.

Задача 5. (2019) Восемь одинаковых рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов двенадцать таких же рубашек дороже куртки?

Решение. Используя те же обозначения, получим верные равенства:

8r = 0,98k,

4r = 0,49k,

12r = 1,47k.

Двенадцать рубашек дороже куртки на 47%.

Ответ. На 47%.

Задача 6. (2017) Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни — столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?

Решение. Выпишем в строчку одинаковые по стоимости массы ягод:

1 кг клубники стоит столько же, сколько стоит 0,9 кг черешни, то есть на10% дешевле, чем 1 кг черешни.

Ответ. На 10%.

Задача 7. (2019) Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

Решение. Пусть брюки стоят b, рубашка r, пиджак p (в рублях). По условию задачи, b = r + 0,3r = p — 0,22p, откуда следует, что r = 0,6p = p — 0,4p. Следовательно, рубашка дешевле пиджака на 40%.

Ответ. На 40%.

Задача 8. Зарплату сотрудника увеличили на несколько процентов. Через некоторое время эту новую зарплату увеличили на столько же процентов, как и в первый раз. На сколько процентов увеличили зарплату в первый раз, если за два раза она увеличилась на 44%?

Следовательно, в первый раз зарплату увеличили на 20%.

Ответ. На 20%.

Задача 9. В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?

Решение. Пусть a — цена каждой акции при открытии торгов в четверг (все цены в рублях). Пусть после торгов в четверг цена акции увеличилась на p %, акция стала стоить

Следовательно, в четверг акции компании подорожали на 30%.

Ответ. На 30%.

Задача 10. (2018) Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась в 2 раза, то общий доход семьи вырос бы на 65%. Если бы стипендия дочери уменьшилась в 2 раза, то общий доход семьи сократился бы на 1%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение. Обозначим доходы в рублях мужа, жены и дочери m, g и d соответственно. По условиям задачи составим два равенства:

m = 0,65(m + g + d), (1)

0,5d = 0,01(m + g + d). (2)

Обе части равенства (2) не нули. Разделив равенство (1) на равенство (2), получим:

m: 0,5d = 65,

откуда следует, что m = 32,5d. Умножив равенство (2) на 2 и подставив в полученное равенство 32,5d вместо m, получим равенство:

d = 0,02(32,5d + g + d). (3)

Выразив g через d из равенства (3), получим: g = 16,5d. Тогда доход семьи равен m + g + d = 50d, а зарплата жены от общего дохода составляет

Ответ. 33%.

Задачи для самостоятельного решения

11. (2019) Десять одинаковых рубашек дешевле куртки на 4%. На сколько процентов пятнадцать таких же рубашек дороже куртки?

12. (2019) Девять одинаковых рубашек дешевле куртки на 7%. На сколько процентов двенадцать таких же рубашек дороже куртки?

13. Брюки дороже рубашки на 20% и дешевле пиджака на 46%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

14. В понедельник цена акции увеличилась на 20%, во вторник она увеличилась ещё на 30%. На сколько процентов за эти два дня увеличилась цена акции?

15. (2017) В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 49% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

16. Брюки дороже рубашки на 25% и дешевле пиджака на 20%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

17. В магазине костюм, состоящий из пиджака и брюк, стоит на 20% дороже, чем такой же костюм на рынке, причем брюки стоят на 30% дороже, чем на рынке, а пиджак — на 15%. Во сколько раз на рынке брюки от этого костюма дешевле пиджака?

Ответы. 11. На 44%. 12. На 24%. 13. На 55%. 14. На 56%. 15. На 70%. 16. На 36%. 17. В 2 раза. 

Чтобы сообщить об ошибке, выделите текст и нажмите Ctrl+Enter
К комментариям
Подписаться
Комментариев пока нет
Больше статей