Вспомогательные неизвестные | Мел
Вспомогательные неизвестные
  1. Блоги

Вспомогательные неизвестные

Приём, используемый при решении задач от 5 класса до ГИА-9 и ЕГЭ-11
Время чтения: 4 мин

Вспомогательные неизвестные

Приём, используемый при решении задач от 5 класса до ГИА-9 и ЕГЭ-11
Время чтения: 4 мин

При решении задач бывает полезным обозначить неизвестную величину буквой, с помощью которой получается ответ задачи. Значение неизвестной величины при этом находить не требуется, да и невозможно без дополнительных условий. Рассмотрим несколько таких задач.

Задача 1. Производительность труда мастера в 2 раза больше, чем производительность труда его ученика. При совместной работе мастер и ученик выполнили некоторое задание за 6 дней. За сколько дней то же задание выполнит один мастер?

Решение. Пусть производительность труда ученика равна x, а производительность труда мастера 2x (единиц продукции в день). Тогда всё задание составляет 6 * (2x + x) = 18x (тех же единиц). Такое задание мастер выполнит за 18x: 2x = 9 (дней).

Ответ. 9 дней.

Замечание. Знатоки тут заметят, что задача решается проще с использованием обратной пропорциональности времени работы и производительности труда при одном и том же объёме работы. Так как производительность труда мастера составляет 2/3 общей производительности труда, то время его работы составит 3/2 от 6 дней, то есть 9 дней. С этим замечанием я полностью согласен, но задача составлена для демонстрации указанного в заглавии приёма, она может быть дана учащимся до изучения обратной пропорциональности.

Задача 2. Теплоход проплыл по реке одно и то же расстояние без остановок в одном направлении за 6 часов, а в обратном — за 9 часов. При этом собственная скорость теплохода была постоянна. За сколько часов это расстояние проплывёт бревно?

Решение. Пусть расстояние, которое проплыл теплоход по реке в одном направлении равно s км. Тогда скорость теплохода по течению реки равна s/6 км/ч, а против течения s/9 км/ч. Скорость течения, с которой плывёт бревно, равна (s/6 — s/9): 2 = s/36 (км/ч). Следовательно, бревно проплывёт расстояние s км за s: s/36 = 36 (часов).

Ответ. 36 часов.

Замечание. Если такого рода задача попалась в тестовой части ГИА (ОГЭ) или ЕГЭ, то можно смело решать её для частого случая, так как предъявлять на проверку нужно не решение, а только ответ. Пусть расстояние равно 180 км. Проделав те же вычисления, получим скорость по течению 30 км/ч, против течения 20 км/ч, скорость течения 5 км/ч. Время движения бревна равно 180: 5 = 36 (часов).

Раз уж мы вспомнили ГИА (ОГЭ, то давайте рассмотрим две задачи на вычисление средней скорости.

Задача 3. Грузовик ехал несколько часов со скоростью 90 км/ч, потом столько же часов — со скоростью 60 км/ч. С какой постоянной скоростью он проехал бы тот же путь за то же время? (Эту скорость называют средней скоростью.)

Решение. Пусть грузовик ехал t ч со скорость 90 км/ч, потом t ч со скоростью 60 км/ч. За время 2t ч он проехал 90t + 60t = 150t (км). Средняя скорость движения составила 150t: 2t = 75 (км/ч).

Ответ. 75 км/ч.

Замечание. Как видно из решения, если грузовик ехал с разными скоростями равные промежутки времени, то средняя скорость есть среднее арифметическое скоростей движения на этих участках: 75 км/ч. Только не путайте этот случай с описанным в следующей задаче.

Задача 4. Грузовик ехал первую половину пути со скоростью 90 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 60 км/ч. Вычислите среднюю скорость грузовика.

Решение. Пусть длина каждой половины пути s км. Тогда всего грузовик проехал 2s км, потратив на весь путь s/90 + s/60 = s/36 (часов). Средняя скорость движения составила 2s: s/36 = 72 (км/ч).

Ответ. 72 км/ч.

Замечание. См. замечание к задаче 2.

Теперь задачи посложнее для тех, кто постарше.

Задача 5. Из пункта A в пункт B, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно с ним в пункт B вышел катер. Дойдя до B, он сразу же развернулся и отправился назад. Какую часть пути проплыл плот к моменту встречи с катером, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

Рассмотрим задачу, для решения которой пришлосьь вводить две вспомогательные величины. Убедитесь, что это не так сложно.

Прислали мне хорошую задачу из хорошей физматшколы. Я поменял числовые данные, чтобы получился круглый ответ.

Задача 6. На острове Невезения среди взрослого населения 90% мужчин женаты и 72% женщин замужем. Сколько процентов взрослого населения этого острова состоят в браке?

Решение. Очевидно, что в браке состоит столько мужчин, сколько и женщин. Пусть на острове было m мужчин и g женщин. Если бы это была задача первого раздела ОГЭ или ЕГЭ, где не требуется полная запись решения, то ответ можно было бы получить для частного случая.

Теперь решим задачу в общем виде, а не для специально подобранных дополнительных числовых данных, которых нет в условии задачи.

Замечание. Задачу 6 можно решить ещё одним способом, обозначив одной буквой и число женщин, и число мужчин, состоящих в браке.

Задача для самостоятельного решения

Задача 7. В некотором царстве, в некотором государстве послушными были 45% всех мальчиков и 90% всех девочек, при этом оказалось, что послушных мальчиков было столько же, сколько послушных девочек. Сколько процентов детей этого царства-государства не являются послушными?

Ответ. 40%.


См. также на сайте www.shevkin.ru статью Не бойтесь вводить лишние буквы, решая сложные задачи на проценты.

Чтобы сообщить об ошибке, выделите текст и нажмите Ctrl+Enter
К комментариям
Комментариев пока нет